Решение показательных уравнений

Разделы: Математика

Тема урока: «Решение показательных уравнений»

Тип урока: урок обобщения, систематизации знаний.

Цели урока:

Образовательные:

  1. Обобщить и структурировать знания учащихся по данной теме.
  2. Закрепить основные методы решения показательных уравнений, предупредить появление типичных ошибок.
  3. Предоставить каждому обучающемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень.
  4. Активизировать работу класса через разнообразные формы работы.

Развивающие:

  1. Работать над развитием понятийного аппарата;
  2. Развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные:

  1. Воспитывать ответственное отношение к труду;
  2. Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

ФОРМА УРОКА: комбинированный.

Оборудование. Доска, мел, карточки с тестовыми заданиями, мультимедийный проектор, презентация (Приложение 1).

Ход урока

I. Орг. момент.

Здравствуйте, ребята!

На доске написана китайская мудрость:

Девиз урока

РАССКАЖИ МНЕ – И Я ЗАБУДУ,
ПОКАЖИ МНЕ – И Я ЗАПОМНЮ,
ДАЙ МНЕ ДЕЙСТВОВАТЬ – И Я ПОЙМУ.

(слайд 1)

Сегодня на уроке мы с вами повторим основные методы решения показательных уравнений, выполним самостоятельную работу по данной теме. (слайд 2)

Цели урока:

  1. Обобщить знания учащихся по данной теме.
  2. Закрепить основные методы решения показательных уравнений, предупредить появление типичных ошибок.
  3. Предоставить каждому обучающемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень.

II. Систематизация теоретического материала.

Актуализация опорных знаний

(обобщение материала провести фронтально с классом)

  1. Дать определение показательной функции. (слайд 3)
  2. Перечислить свойства показательной функции. (слайд 4)
  3. Перечислить свойства степеней. (слайд 5)
  4. Дать определение показательного уравнения. (слайд 6)

Давайте вспомним основные методы решения показательных уравнений. Сконцентрируйте внимание на изображении, созданном медиапроектором. (демонстрация слайда 7 презентации).

Первый из рассматриваемых нами способов решения уравнения – функционально-графический (демонстрация слайда 8 презентации).

Давайте вспомним алгоритм решения уравнений функционально – графическим методом.

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

  1. Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.
  2. Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.
  3. Записать ответ.

Задание 1. Решите уравнение . Ответ. 0. (В процессе решения уравнения демонстрируется слайд 9 презентации).

Следующий метод решения уравнений – метод уравнивания показателей (демонстрация слайда 10 презентации).

Задание 2. Решите уравнения, комментируя свое решение. (В процессе решения уравнения демонстрируется слайд 11 презентации)

, , х2-4х=-3, х2-4х+3=0, х1=1, х2=3.

Следующий метод решения уравнений – введение новой переменной (демонстрация слайда 12 презентации).

Задание 3.Решите уравнения, комментируя свое решение. (В процессе решения уравнения демонстрируется слайд 13 презентации)

,

,

.

Пусть 3х=, t>0, тогда t2-24t-81=0, t1=27, t2=-3.

Выполним обратную замену.

3x=27,

  

2) 3x=-3,

х=3.

  

решений нет.

Следующий метод решения уравнений – Разложение на множители (демонстрация слайда 14 презентации).

Задание 4. Решите уравнения, комментируя свое решение. (В процессе решения уравнения демонстрируется слайд 15 презентации).

;;;;;; 5х=3, х=0,6.

Указать методы решения следующих уравнений: слайд 16

42-2x+1=48

2x=3

7x-6 * 7x+5=0

2x+2=4

ВОПРОС: О ЧЁМ ИДЁТ РЕЧЬ? слайд 17

? ОСОБЕННОЕ !
1) 3x = 27 2) 6x-3 = 36
3) 5x-2 =25 4) 2x = 32 + а

ОТВЕТ: 1, 2, 3 – простейшие показательные уравнения 4 – простейшее показательное уравнение с параметром а, при а=0 имеет решение.

Цитата дня: «Учение без размышления бесполезно, но и размышление без учения опасно».

Конфуций. слайд 18

III. Тренинг.

Итак, мы повторили все методы (известные нам) решения показательных уравнений. А теперь закрепим эти методы при решении.

Предложить учащимся выполнить следующие задания, объединившись в микрогруппы для взаимопомощи и взаимоконтроля. Время выполнения - 5 минут.

По просьбе учащихся консультировать их по выполнению задания. слайд 19

а) 3x+2 + 3x = 30
б) 4x – 14 · 2x – 32 = 0		   а) 2x+2 +2x = 5
б) 9x – 6 · 3x – 27 = 0

Во временных рабочих группах каждый может работать индивидуально .По выполнении каждого задания каждая группа помещает полученный ответ на доску. В случае получения различных ответов, рассматривается верный способ решения.

1 вариант: а) 1; б) 4.

2 вариант: а) 0; б) 2.

Показать границы применения полученных знаний при выполнении заданий КИМ

Познакомить учащихся с формулировкой заданий ЕГЭ прошлых лет, требующих для решения знания изученного материала. Предложить по желанию одному из учащихся показать решение каждого задания с комментариями.

По одному решают задания у доски, остальные – записывают решение в тетрадь, участвуют в выборе способа решения, в обсуждении хода решения.

Решение задач высокого уровня сложности (часть С) (Решение у доски с комментированием)

а) Решить уравнение:

б) При каких значениях параметра p уравнение имеет единственное решение:

Ответы

а) Решить уравнение:

Решение:

Пусть t=. Тогда t>0.

По теореме, обратной теореме Виета, t1=-3, t2=1.

Найденные значения t не удовлетворяют условию рассматриваемого случая

2) 0 < t < 2.

 

.

t2=-1 не удовлетворяет условию рассматриваемого случая 0 < t < 2.

 .

Так как функция монотонна, то x = - 1

Ответ: x = - 1.

б) При каких значениях параметра p уравнение имеет единственное решение:

 (1)

Решение:

Пусть тогда уравнение примет вид

 (2)

Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях:

  1. Если D = 0, то есть p = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.
  2. Если p ≠ 1, то , тогда уравнение (2) имеет два различных корня  Условию задачи удовлетворяет совокупность систем  или

Подставляя t1 и t2 в системы, имеем

или

 нет решений.

Ответ: p = 1, 0 < p ≤ 0,75.

«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами».
Г. Лессинг.

слайд 20

ФИЗМИНУТКА

А сейчас мы с вами проведем физкультминутку. слайд 21

Проводится гимнастика для улучшения мозгового кровообращения.

Исходное положение – сидя на стуле, руки на пояс.

Упражнение №1.Голову наклонить вправо. И. п. Голову наклонить влево. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).

Упражнение №2. Голову повернуть направо. И.п. Голову повернуть налево. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).

Упражнение №3. Правая рука – вперёд, левая – вверх. И. п. Левая рука – вперёд, правая – вверх. И. п. (Упражнение повторяется 6 раз).

Упражнение №4. И.п. – откинувшись на спинку стула.

Работаем по офтальмотренажеру.

По 4 раза, не поворачивая головы, глазами проводим вверх – вниз, затем влево – вправо,

4 раза по часовой стрелке по наружному овалу,

4 раза против часовой стрелки по внутреннему овалу,

и 4 раза рисуем глазами знак бесконечности.

IV. Тестовая работа.

А сейчас проведем тестовую работу, чтобы выяснить как вы усвоили данную тему и какие пробелы у вас остались. Задания раздаются каждому ученику, решение каждого здания учащиеся выполняют письменно и сдают вместе с бланком ответов. (Приложение 2)

V. Проверка.

слайд 22

I вариант II вариант
№1 – 3
№2 – 3
№3 – 4
№4 – 1
№5 – 3		 №1 – 3
№2 – 4
№3 – 2
№4 – 2
№5 – 4

Оценивание слайд 23

VI. Анализ урока, выставление оценок.

слайд 24

Рефлексивно-оценочный

Достигли ли Вы сегодня поставленных целей?

Как ты оцениваешь свои знания, полученные сегодня (глубокие, осознанные, предстоит осознать, неосознанные)?

Что вызвало наибольшую трудность? Какие цели поставишь перед собой (в плане приобретения навыков)?

VI. Домашнее задание.

слайд 25

Обязательно:

1. Решить уравнение:

а)

б)

2. При каких значениях параметра a уравнение имеет два действительных корня:

Желающим: Найти и выполнить одно задание из КИМов (по теме урока).