Разработка элективного курса "Функции. Графики. Преобразования" для профильного 10-го класса

Разделы: Математика

Предлагаемый элективный курс по профильной подготовке учащихся 10 классов посвящен одному из основных понятий современной математики – функциональной зависимости.

Объем содержания в школьной программе и количество часов, выделяемых на изучение темы “Функция” в разных классах, не позволяет показать в полном объеме все многообразие задач. Понятие функциональной зависимости является одной из главной линии в учебно-методическом комплексе А.Г.Мордковича, по которому занимаются учащиеся данного курса. Программу данного курса можно использовать при работе с другими УМК. Поэтому данный курс поможет обучающимся расширить свои знания и научит применять их на практике. Тесты итоговой аттестации поматематик за курс основной школы предполагает наличие у школьников знаний и умений читать по графику свойства функции, использовать их в решении уравнений и неравенств.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать сложные задачи, а порой является единственным средством их решения.

Курс позволит углубить знания по истории возникновения понятия, по способам задания функций, их свойствам. Познакомит с обратными функциями и свойствами взаимно-обратных функций.

Итоговой формой контроля может стать контрольная работа по пройденным темам.

ЦЕЛЬ:

  • Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для продолжения образования.
  • Овладение умениями и навыками для различия функций не по видам, а по методам построения их графиков.
  • Развитие умственных способностей, формирование качеств мышления характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе.

ЗАДАЧИ:

  • Закрепить основные знания о функциях и их свойствах.
  • Расширить представление о свойствах функции.
  • Вовлечь обучающихся в игровую, коммуникативную и практическую деятельность как фактор личностного развития.
  • Оказать обучающемуся помощь оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

ТРЕБОВАНИЯ К УСВОЕНИЮ КУРСА.

Обучающиеся должны знать:

  • Понятие функции как математической модели, описывающей разнообразие реальных зависимостей.
  • Определение основных свойств функций.

Обучающиеся должны уметь:

  • Правильно употреблять функциональную терминологию
  • Исследовать функцию, строить график.
  • Находить по графику функции ее свойства.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КУРСА

ТЕМА ЗАНЯТИЯ.

Кол-во часов

Глава 1. Основные сведения о функции.

  1. Подготовительный этап: постановки цели, проверка владения базовыми навыками.
  2. Основные сведения о функциях.
  3. Предел функции.
  4. Непрерывность. Асимптоты
  5. Четность и нечетность функций.
  6. Периодичность функций.
  7. Отыскивание интервалов монотонности и экстремумов функции.
  8. Отыскивание интервалов выпуклости и точек перегиба.

Глава 2. Элементарные функции.

  1. Простейшие элементарные функции.
  2. Показательная функция.
  3. Тригонометрические функции.
  4. Степень с рациональным показателем.
  5. Функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, модуль.

Глава 3. Методы построения графиков функций без использования производной

  1. Простейшие преобразования для графиков ( параллельный перенос, деформация, отражение)
  2. Построение графиков функций, содержащих модуль, на основе геометрических преобразований.
  3. Основные операции над графиками функций.
  4. Построение графиков функции вида у=f( кх+в)
  5. Построение графиков функций вида у=f( ах2 +вх+с)
  6. Построение графиков функций вида у = f (ах+в)/(сх+м)
  7. Эскизирование графиков функций.
  8. Примеры построения графиков функций .

Глава 4. Общая схема исследования функций при построении графиков.

  1. Схема исследования функций с помощью производной.
  2. Применение ряда Тейлора к исследованию функций.
  3. Примеры применения общей схемы.
  4. Элементарные функции (продолжение)

Глава 5. Простейшие неэлементарные функции.

  1. Ступенчатые функции.
  2. Кусочно-непрерывные функции.
  3. Графики функций, заданные с помощью пределов.
  4. Некоторые специальные функции.
  5. Историко- генетический подход к понятию “функция”

Глава 6. Кривые на плоскости.

  1. Кривые на плоскости.
  2. Кривые, заданные параметрически.
  3. Кривые, заданные неявными уравнениями.
  4. Кривые, заданные уравнениями в полярных координатах.
  5. Примеры спиралей.
  6. Примеры кривых, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции.

Глава 7. Графические методы решения математических задач.

  1. Уравнения и их системы
  2. Системы нелинейных уравнений.
  3. Неравенства и их системы.
  4. Доказательства существования и единственности решения.
  5. Графики в заданиях ЕГЭ
  6. Действия над функциями: сумма (разность) функций.
  7. Произведение функций.
  8. Частное двух функций.
  9. Суперпозиция функций.
  10. Обратная функция.
  11. Симметрия в геометрических преобразованиях графиков функций.

Итоговая работа.

* На каждую тему отводится 1 час.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Глава 1. Основные сведения о функции.

Систематизирует знания по вопросам: что такое функция, график, свойства, простейшие функциональные зависимости. Лекционно-семинарское занятие.

Глава 2. Элементарные функции.

Систематизирует знания об элементарных функциях, составляется справочная таблица функций, свойств, графиков. Лекционно-семинарское занятие.

Глава 3. Методы построения графиков функций без использования производной.

Рассматривается построение графиков сложных функций, преобразование графиков, построение графиков функций содержащих знак модуля, систематизируются знания.

Глава 4. Общая схема исследования функций при построении графиков.

Методы математического анализа анализа позволяют строить достаточно точный график заданной функции, с использованием производной функции. Лекционно-семинарское занятие.

Глава 5. Простейшие неэлементарные функции.

Знакомство с функциями: сигнум х, целая часть числа х, единичная функция Хевисайда, дробная часть числа х, пилообразная функция. Графики функций, заданных с помощью пределов. Специальные функции являющиеся решениями дифференциальных уравнений. Лекционно-семинарское занятие.

Глава 6. Кривые на плоскости.

Вводится понятие кривых на плоскости, основных понятий – отображения, вектор-функция, пути и кривые. кривые заданные параметрически: неявными уравнениями, в полярных координатах. Примеры спиралей. Лекционные занятия.

Глава 7. Графические методы решения математических задач.

В задачах с параметрами участвуют функции нескольких переменных. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Рассмотреть примеры задач, которые встречаются в ЕГЭ.

Каждое занятие заканчивается решением примеров по рассмотренной теме, учитывается сложность и разнообразие примеров.

В заключение курса учащиеся выполняют и защищают проект по темам:

А) Использование различных методов при построении графиков.

Б) Применение графиков в различных областях науки.

В) Свободные темы, связанные с графиками функций.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Итоговая контрольная работа за курс.

1. Найдите область определения функции:

У=

2. Построить график функций:

У= (х-2)3

У= 2sin(2х+1)+4

У= 1/(х + 4)

У= cos| х |

3. Заданы функции у=f(x) by=g(x). Написать функцию у=f(g(x))

У= u= x2 +1.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

  1. Гельфанд И.М. Функции и графики (основные приемы) М. Наука, 1971.
  2. Ершов А.В, Райхмист Р.Б. “Построение графиков функций” . Книга для учителя. М. 1974г.
  3. Подшивка газет “Математика”, за 1998-2006 год.
  4. Райхмист Р.Б. “Графики функций”, задачи и упражнения. М. “Школа – пресс”.1997.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧЕНИКА.

  1. Виленкин Н.Я.. Функции в природе и технике.. М. 1978
  2. Литвиненко В.Н, Мордкович А.Г. “Практикум по решению задач”. М. Просвещение. 1984.
  3. Ткачук В.В. “Математика – абитуриенту”, Т1, Т2 – М. 1994.