Урок математики по теме "Применение производной. Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремальные задачи"

Разделы: Математика

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

Цель урока: обобщить знания обучающихся по данной теме, закрепить основные методы решения задач на наибольшее и наименьшее значения функции; развивать алгоритмическое мышление, память, внимательность, познавательный интерес, логическое мышление; воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач, самостоятельность, интерес к предмету.

Девиз урока:

«В математике следует помнить не формулы, а процессы  мышления».
В.П. Ермаков.

План урока:

  1. Устные вопросы (разгадывание кроссворда).
  2. Устные упражнения.
  3. Самостоятельная работа (соревнования по стрельбе на два варианта).
  4. Решение задач.
  5. Итоги урока.

Ход урока

1. Начнем наш урок с разгадывания кроссворда.

  1. Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так: «Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки».
  2. В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятием, как «скорость движения в данный момент времени» и «касательная к кривой в заданной точке».
  3. Приращение какой переменной обычно обозначают .
  4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению
    функции в точке а, то в этой точке функцию называют... (Подсказка. График такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва от бумаги).
  5. Эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое большое значение по сравнению со значениями в близких точках.
  6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.
  7. Если функцию у = f(x) можно представить в виде у f(x)=g(h(x)), где у = g(t) и t = h(x) - некие функции, то функцию f(x) называют...

Кроссворд мы разгадали.

В выделенных клетках вы видите имя француз кого математика и механика Жозефа Луи Лагранжа. Он является почетным членом Петербургской академии наук. Лагранж родился в семье обедневшего чиновника; уже в 19 лет стал профессором а Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1797 г. Ввел термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввел Лагранж.

На прошлых уроках вы узнали, что с помощью понятия «производная» получили единую трактовку такие понятия, как мгновенная скорость прямолинейного неравномерного движения, кинетическая энергия тела, сила, действующая на материальную точку и т. д., а сегодня мы с вами увидим, как широка область применения производной при решении задач на наибольшее и наименьшее значения функций.

II. Устные упражнения.

Прежде, чем перейти к устным упражнениям давайте повторим правило отыскания наименьших и наибольших значений функции на отрезке:

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение непрерывной функции f на отрезке , надо:

а) найти ее значения на концах этого отрезка (т.е. числа f(a) и f(b));
б) найти ее значения в точках, где производная равна нулю;
в) найти ее значения в точках, где функция не имеет производной;
г) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

  1. На рисунке изображен график функции f(x). Существует ли и если существует, то чему равен: а) ; б) ; в) ; г) .
  2. Докажите, что если , то .
  3. Вычислите

III. Предлагаю вам соревнования по стрельбе в математическом тире.

Ваш выстрел дуплетом это нахождение координат точек, в которых функции принимают наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0;5]. Цель находится в одной из этих точек. В какую мишень удастся попасть?

Заполните таблицу. Посоревнуйтесь!

Вариант 1

Координаты точек
f(0)      
f(5)      
f '(х)      
Точки экстремума      
Экстремумы на
[0;5]		      
     
     
В кого попали? (3;5) слон (3;0) обезьяна (0;0) улитка

Вариант 2

Координаты точек
f(0)      
f(5)      
Точки экстремума      
Экстремумы на
[0;5]		      
     
     
В кого попали? (4,4) жираф (1; 1) черепаха (3,2) бабочка

Приложение.

IV. Решение задач.

Переходя к экстремальным задачам, давайте выработаем план их решения:

  1. Выбирают одну из переменных (независимую переменную) и выражают через нее ту переменную, для которой ищется наибольшее или наименьшее значение.
  2. Находят промежуток изменения независимой переменной.
  3. Находят производную, полученную в п1 функции.
  4. Приравнивают производную нулю и находят корни получившегося уравнения.
  5. Находят точки, в которых функция не имеет производной.
  6. Вычисляют значение функции на концах промежутка изменения независимой переменной и в точках, найденных в п. 4 и 5, а потом выбирают из них наибольшее (соответственно наименьшее).

Задачи.

  1. Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 1296 дм3 в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а ее задняя стенка - в стену цеха. Для соединения подставки по ребрам, не вмонтированным в пол и в стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.
  2. Каковы должны быть размеры открытого бассейна объемом 36 , дно которого имеет форму прямоугольника с отношением сторон 2:1, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала?

V. Итоги урока.