Цели урока: вывести формулу для вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла; сформировать навык вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла; повторить известные и сообщить новые сведения из истории интегрального исчисления; подготовка к экзамену; продолжить работу по развитию внимания, речи, логического мышления, аккуратности в записи; совершенствовать графическую культуру; продолжить работу по развитию творческих способностей учащихся; повысить интерес к изучению математики;
Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация по теме, разработанная в среде Power Point.
Ход урока
I. Организационный момент, сообщение темы и цели урока.
(Слайд 1)
II. Проверка домашнего задания.
(Слайд 2)
Проверка дополнительного домашнего задания (учитель показывает решение на заранее подготовленном рисунке, решение с обратной стороны доски):
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1+ 3cos(x/2), x = -π/2, x = 3π/2, y = 0
Решение:
III. Актуализация опорных знаний.
1. Устная работа (Слайды 3-4)
- Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках:
- Вычислите интегралы:
2. Немного истории. (Слайды 5-9)
Фрагмент компьютерного проекта учащихся на тему «Из истории интегрального исчисления».
1 учащийся
Интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным, а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Оно происходит от латинского integero, переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать.
Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Жозеф Луи Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный».
Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга.
Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления.
Труды Архимеда, впервые созданные в 1544 году, явились одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления.
2 учащийся
Понятие интеграл непосредственно связано с интегральным исчислением – разделом математики, занимающимся изучением интегралов, их свойств и методов вычисления.
Более близко и точно к понятию интеграл подошел Исаак Ньютон. Он первый построил дифференциальное и интегральное исчисления и назвал его "Методом флюксий..." (1670-1671 гг., опубл. 1736 г.). Переменные величины Ньютон назвал флюентами (текущими величинами, от лат. fluo – теку). Скорости изменения флюент Ньютон – флюксиями, а необходимые для вычисления флюксий бесконечно малые изменения флюент – "моментами" (у Лейбница они назывались дифференциалами). Таким образом, Ньютон положил в основу понятия флюксий (производной) и флюенты (первообразной, или неопределённого интеграла).
Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи.
Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный – Готфрид Вильгельм Лейбниц.
Размышляя над философскими и математическими вопросами, Лейбниц убедился, что самым надежным средством искать и находить истину в науке может стать математика. Знак интеграла (∫), был впервые использован Лейбницем в конце XVII века. Этот символ образовался из буквы S — сокращения слова лат. summa (сумма).
Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.
Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:
,
где F`(x)=f(x).
Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.
.
Формулу, которую открыли независимо друг от друга Ньютон и Лейбниц назвали формула Ньютона – Лейбница.
Таким образом, понятие интеграл было связано с именами знаменитых ученых: Ньютон, Лейбниц, Бернулли, положивших основу современного математического анализа.
IV. Объяснение нового материала.
(Слайд 10)
С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских фигур более сложного вида.
Пусть фигура P ограничена прямыми х = a, x = b и графиками функций y = f(x) и y = g(x), причем на отрезке [a;b] выполняется неравенство g(x)
f(x).
Для вычисления площади фигуры будем рассуждать следующим образом. Выполним параллельный перенос фигуры P на m единиц вверх так, чтобы фигура P оказалась расположенной в координатной плоскости выше оси абсцисс.
Теперь она ограничена сверху и снизу графиками функций y = f(x)+m и
y = g(x)+m, причем обе функции непрерывны и неотрицательны на отрезке [a;b].
Полученную фигуру обозначим ABCD. Ее площадь можно найти как разность площадей фигур:
SABCD = SaDCb – SaABb =
=
=
Таким образом, площадь фигуры S, ограниченной прямыми х = a, x = b и графиками функций y = f(x) и y = g(x), непрерывных на отрезке [a;b] и таких, что для всех х из отрезка [a;b] выполняется неравенство g(x)
f(x), вычисляется по формуле
Пример. (Слайд 11) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.
V. Закрепление изученного материала.
Задание 1. (Слайд 12) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 – х2 , y = 1+ | x |
Решение.
1. Найдем точки пересечения графиков функций:
| 3 – х2 = 1 + |x| –х2 – |x| + 2 = 0 х2 + |x| – 2 = 0 |
||
| x > 0 х2 + x – 2 = 0 x = – 2 – не подходит x = 1 |
x  0х2 – x – 2 = 0 x = 2 – не подходит x = – 1 |
2. S1 = S2 
S = 2∙S1
3. 
Задание 2. (Слайд 13)
С помощью определенного интеграла записывают формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках.
Подберите из данных формул для вычисления площади фигуры ту, которая подходит к одному из шести чертежей. (Слайд 14)
Задание 3. (Слайд 15) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 0,5х2 + 2, касательной к этому графику в точке с абсциссой х = -2 и прямой х = 0.
Решение.
1. Составим уравнение касательной к графику функции y = 0,5х2 + 2 в точке с абсциссой х = -2:
y = f (x0) + f '(x0)(x – x0)
f (-2) = 0,5∙(-2)2 + 2 = 4
f '(x) = (0,5х2 + 2)'= x
f '(-2) = -2
y = 4 – 2(x + 2)
y = -2x
2. Построим графики функций.
3. Найдем площадь фигуры АВС.
SABC =
VI. Подведение итогов.
(Слайд 16)
- формула для вычисления площадей плоских фигур;
- запись формул площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла;
- повторение уравнения касательной к графику функции и решения уравнения с модулем;
- выставление оценок учащимся.
VII. Домашнее задание.
(Слайд 17)
- п. 4 стр. 228-230;
- №1025(в, г), №1037(в, г), №1038(в, г)
учебник: А. Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10–11»