Цели.
- Познакомить с приемами кодирования и декодирования информации.
- Развивать умения работать в группах.
Ход мероприятия
Сегодня мы поговорим о математике и шифрах. Что такое шифр? (Шифр - это совокупность условных знаков (условная азбука из цифр или букв) для секретной переписки дипломатических представителей со своими правительствами, а также в вооруженных силах для передачи текста секретных документов по техническим средствам связи). В течение столетий шла борьба изобретателей все новых шифров с разгадывателями этих шифров.
Математика издавна применялась в теории шифров. Еще в конце 16 века расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха III занимался один из создателей современной алгебры Франсуа Виет. (Слайд 2).
А английские монархические заговорщики в 17 веке поражались быстроте, с которой О.Кромвель проникал в их замыслы. Все их шифры разгадывал один из лучших математиков того времени профессор Оксфордского университета Валлис. (Слайд 2). Он считал себя основателем новой науки – криптографии (тайнописи).
И во время второй мировой войны этой работой занимались лучшие математики воюющих стран. Например, одним из лучших дешифровальщиков в Англии был известный математик Алан Тьюринг. Он в 1943 г.с помощью первых вычислительных машин расшифровал германские послания, закодированные шифровальной машиной “Энигма” (слайд 2).
Первые шифры были не очень сложными. Например, русские дипломаты 15-16 веков применяли так называемую “тарабарскую грамоту”, или, как ее еще называли, “хитрую литорею”, (слайд), в которой все гласные буквы оставались неизменными, а согласные заменялись одна другой по следующей схеме: (слайд 3) - в первой строке согласные идут в обычном порядке, а во второй строке - в обратном. Попробуйте расшифровать, что записано: “Шеситий чолуцамь” (Великий государь).
Задание 1. Расшифровать пословицу.
(Время 2-3 мин.)
Ответ: Мир стоит до рати, а рать до мира (Объяснение пословицы: “Рать” - воинское соединение)
При шифровании должны выполняться определенные условия. Во-первых, различные буквы должны обозначаться различными знаками: иначе получатель должен будет гадать, какую из нескольких букв обозначает тот или иной знак. Далее, шифр должен быть трудно разгадываемым – легкие шифры можно применять лишь при условии, что у противника нет времени на разгадку. Наконец, секретность шифра должна сочетаться со сравнительной несложностью операций кодирования и раскодирования: иначе на них уйдет столько времени, что передача информации устареет. А если раскодирование потребует слишком много усилий, то можно оказаться в положении легендарного писца. Он писал за плату письма на восточном базаре, но при этом взимал плату еще и как гонец. Дело было в том, что написанное им никто, кроме него самого, понять не мог.
Поскольку в каждом шифре применялось конечное число различных знаков, то их можно перенумеровать и вместо самих знаков использовать их номера. Будем для простоты рассматривать шифры, в которых нет избыточности. Тогда число знаков равно числу букв в алфавите плюс знаки, обозначающие пробел между словами, точку, запятую, тире. Для русского языка можно обойтись 35 знаками: 31 буква (е, ё, ь и ъ не различаются), пробел, точка, запятая, тире.
При шифровании каждая буква или знак заменяются иной буквой или знаком. Но вместо букв и знаков можно брать соответствующие им числа. Тогда шифрование сведется к тому, что вместо одних чисел, соответствующих исходной букве или знаку, надо взять другое число. Например, напишем такую таблицу: (слайд 4).
В таблице показано, каким числом заменяется каждое из 35 чисел.
Слово “стол” теперь зашифруется так: сначала записываем это слово числами 18,19,15,12. а теперь смотрим в нашу таблицу и видим, что числу 18 соответствует число 10, то есть буква “й”, числу 19 – число 31, т.е. буква “я”, числу 15 – число 20, буква “у”, а числу 12 – число 6, т.е. буква “е”. Получаем слово “йяуе”. Попробуйте догадаться, что оно означает слово “стол”!
Задание 2: Расшифруйте пословицу. (Время - 6-8 мин.).
Ответ: Кто наступит на землю русскую – оступится.
32.31.20.28.15.7.10.31.4.13.12.31.28.15.7.
28.19.33.3.14.28.22.4.10.10.32.4.14.
23.20.10.31.4.13.12.31.10.25.26.
Но запомнить наизусть такую таблицу, чтобы пользоваться ею при шифровании, очень трудно, а хранить ее при себе по понятным причинам весьма нежелательно. Лучше иметь простое правило, позволяющее для каждого числа находить соответствующее ему число. А такие правила дают методы математики.
Шифры и арифметика остатков
(Слайд 5). Один из методов кодирования заключается в следующем. Разделим кольцо на 35 равных частей, занумеруем их и пометим каждую буквой или знаком препинания. А теперь выберем какое-нибудь число а (“ключевое число” шифра) и повернем кольцо вокруг центра по часовой стрелке так, чтобы каждая часть переместилась на а шагов. Это и задает шифр. (Перед однозначными числами пишется 0, иначе “15” можно прочитать как “пятнадцать” и как “один” и “пять”).
Например, если а=7, то часть, помеченная числом 01, перейдет в часть, помеченную числом 08, а это значит, что букве “А” при кодировании отвечает число 08 (буква “З”). И теперь слово “стол” = “25262219”.
Таким образом, каждая буква или знак записываются двузначным числом. Адресату для расшифровки надо разбить полученную последовательность цифр на двузначные числа, вычесть из каждого ключевое число и заменить полученное число буквой алфавита или знаком препинания. (232209131208 – 23 22 09 13 12 08 = 16 15 02 06 05 01 = ПОБЕДА)
(Если известно, что шифр получен прибавлением одного итого же числа к номерам букв, то его можно разгадать, угадав значение хотя бы одной буквы, а лучше нескольких букв. Например, если известно, что в письме идет речь о Москве и в нем часто встречаются сочетание “УХШСЙЗ”, то легко догадаться, что при шифровании номер каждой буквы увеличивали на 7.)
Более сложный шифр получается, если заменить сложение умножением. Будем, например, умножать номера всех букв на 2. Конечно, если произведение окажется больше 35, надо заменять его остатком от деления на 35. Например, буква “Ч” получит при шифровке номер 13, так как номер буквы “Ч” равен 24, а при делении 24*2=48 на 35 получается остаток 13. Это преобразование сложнее, чем сложение. (Коды можно получить также, заменяя умножение возведением в степень.)
(Слайд 6) Кроме замены букв другими буквами или числами, применяются методы шифрования, основанные на перестановке букв. Например, можно поступить следующим образом. Возьмем квадратную таблицу с четным числом строк и столбцов. Произвольным образом в каждой строчке вырежем выбранные клетки. Получится решетка. Если хотим зашифровать сообщение, то накладываем решетку на бумагу и вписываем в “окошечки” по порядку буквы сообщения. Потом поворачиваем решетку вокруг центра на 90° и вписываем продолжение сообщения в открывшиеся окошечки. Продолжая таким же образом заполнять таблицу записываем весь текст. А теперь достаточно записать получившееся сообщение по строчкам, чтобы его было весьма трудно прочесть. Например, из предложения “Приходите завтра вечером к семи часам. Иван” с помощью решетки №1, получится “печарзасрвиаохммтокирдсиасвевантечен”.
Конечно, получатель сообщения должен для расшифровки знать таблицу, с помощью которой шифровали послание. Он записывает сообщение в виде таблицы, накладывает на него решетку и читает часть текста. При этом поворачивает решетку и продолжает так делать, пока не прочтет зашифрованное письмо.
Как составить решетку? Число различных решеток чрезвычайно велико.
Возникает естественный вопрос: как запомнить эту решетку? Ведь держать ее при себе крайне нежелательно. Но здесь на помощь приходит двоичная система счисления. Заменим черные клетки единицами, а белые - нулями. Получим такие записи: 100000, 001010, 010001, 000101, 000000, 010010. При двоичной системе единица больше соседней, стоящей справа, не в 10 раз, а только в 2 раза. Единица в конце числа означает, как обычно, простую единицу; единица на предпоследнем месте означает двойку, на третьем с конца – четверку, на четвертом – восьмерку, на пятом – 16, на шестом – 32. Нули указывают на отсутствие единиц данного разряда. Имеем: 32, 10, 17, 5, 0, 18. Эти числа и нужно запомнить. По ним легко восстановить решетку. Как? (32:2=16, остатка нет, значит на последнем месте – 0, 16:2=8 - на втором месте тоже 0, 8:2=4, на третьем месте-0, 4:2=2, на четвертом месте – 0, 2:2=1, на пятом месте – 0, последний разряд - 1. 10:2=5 (0), 5:2=2 (ост.1) - (1), 2:2=1 (0), (1), (0), (0).)
Вместо квадратов можно использовать прямоугольники с широкими окошечками. В окошечки такой решетки вписывают не отдельные буквы, а части слов, даже целые слова.
(Слайд 7)
Задание 3. Восстановите решетку и расшифруйте пословицу.
Числа для воссоздания решетки: 20,8, 9, 2, 16, 17.
Пословица: кршуаусмстлеиасчокчт.оимайнмбсиннсеи. (Русский ни с мечом, ни с калачом не шутит) – слайд.
Дополнительные задания:
1.У Володи и его отца сегодня день рождения. Отец старше сына ровно в 11 раз. Через 6 лет он будет старше сына только в 5 раз. Сколько лет отцу и сколько лет сыну? (Сын - х+6, отец - 11х+6; 5(х+6)=11х+6; сыну - 4 года, отцу – 44 года.)
2. Пройди все незаштрихованные клетки квадрата так, чтобы ни в одной не побывать дважды и вернуться к начальной клетке. Обход начать с клетки, в которой стоит звездочка. По диагонали ходить нельзя.
Подведение итогов:
1. Выявление победителей
2. Что нового открыли сегодня для себя?
Литература: И.Я.Депман, Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики/Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. Москва. Просвещение, 1989, с.122-135.
Приложение (раздаточный материал)