Серебряный век и математика. Магия квадрата

Приложение 1

Серебряный век русской культуры – это период расцвета духовной культуры: литературы, философии, музыки, театра и изобразительного искусства. Он протекал с 90-х гг. XIX века до конца 20-х гг. XX века. На данном этапе истории духовное развитие в России происходило на основе взаимоотношения индивидуального и коллективного начал.

Начало Серебряному веку было положено символистами, небольшой группой литераторов, осуществивших в конце ХIX – начала ХХ века “эстетический переворот”. Символисты в 90-х годах XIX века выступили с идеей произвести переоценку всех ценностей. В основу ее была положена проблема соотношения индивидуального и коллективного начал в общественной жизни и в искусстве.

Символисты: как старшие (В.Я.Брюсов, Ф.К.Сологуб, З.Н.Гиппиус и др.), так и младшие (А.Белый, А.А.Блок, В.В.Гиппиус и др.) утверждали индивидуальное начало в качестве главного. Они вывели человека за пределы общества и стали рассматривать его как самостоятельную величину, равную по значению обществу и Богу. Ценность индивидуума они определяли богатством и красотой его внутреннего мира. Мысли и чувства человека были превращены в объекты исследования. Они стали основой творчества. Внутренний мир человека рассматривался как результат его духовного развития.

Вместе с утверждением индивидуального начала символисты и литераторы, близкие к ним (А.Л.Волынский, В.В.Розанов, А.Н.Бенуа и др.), занимались формированием эстетического вкуса публики. Они открывали читателю в своих работах мир русской и западноевропейской литературы, знакомили с шедеврами мирового искусства. Под воздействием символистов изменилось отношение общества к духовной деятельности.

Вслед за символистами утверждение индивидуального начала в искусстве и общественной жизни продолжили философы-идеалисты и акмеисты.

Философы-идеалисты (Н.А.Бердяев, Л.И.Шестов, С.Л.Франк, и др.) выступили против утилитарного восприятия обществом личности. Они возвратили философии ценность и в центр ее поставили человека, жизнь которого они стремились обустроить на религиозных началах. Через изменение личности они хотели преобразовать все общество.

Сторонники акмеизма (М.Кузмин, Н.Гумилев, Г.Иванов и др.), литературного направления, возникшего в 10-х годах ХХ в., относились к личности как к данности, которая требует не формирования и утверждения, а раскрытия. Религиозные поиски и желание преобразовать общество были им чужды. Они ощущали мир прекрасным и таким же хотели изобразить его в своих произведениях.

В 10-х годах ХХ в. вместе с акмеизмом зародилось еще одно литературное направление – футуризм. С его развитием связано повторное утверждение в искусстве и общественной жизни коллективного начала. Футуристы (В.В.Маяковский, Д.Бурлюк, А.Крученых и др.) отказались от человека как объекта изучения и самостоятельной величины. В нем видели лишь совершенно безликую частицу общества. Объявив себя создателями истинных произведений искусства, футуристы провели свою переоценку ценностей. Они полностью отвергли достижения старой культуры и предлагали сбросить их с “парохода современности”. Религия отвергалась как базовый элемент старой культуры. Новую культуру футуристы намеревались строить “без моралина и чертяковщины”.

Таким образом, важной чертой развития культуры рубежа веков является мощный подъем гуманитарных наук. "Второе дыхание" обрела история, в которой заблистали имена В.О. Ключевского, С.Ф. Платонова, Н.А.Рожкова и др. Подлинных вершин достигает философская мысль, что дало основание великому философу Н.А. Бердяеву назвать эпоху "религиозно-культурным ренессансом". Русский культурный Ренессанс создавался целым созвездием блестящих гуманитариев – Н.А. Бердяевым, С.Н. Булгаковым, Д.С. Мережковским, С.Н. Трубецким, И.А. Ильиным, П.А. Флоренским и др. Ум, образованность, романтическая страстность были спутниками их трудов.

Конец XIX – начало XX столетия сегодня часто называют "серебряным веком". Это название также принадлежит Н.А. Бердяеву, увидевшему в высших достижениях культуры своих современников отблеск российской славы предшествующих "золотых" эпох. Поэты, зодчие, музыканты, художники той поры были творцами искусства, поражающего напряженностью предчувствий надвигающихся социальных катаклизмов. Они жили ощущением неудовлетворенности "обыденной серостью" и жаждали открытий новых миров.

К этой эпохе относится много имен и символов. Одним из них стал Чёрный супрематический квадрат – самая известная работа Казимира Малевича, созданная в 1915 году.

«Чёрный квадрат» входит в цикл супрематических работ Казимира Малевича, в которых художник исследовал базовые возможности цвета и композиции. «Чёрный квадрат», со дня его появления, – одна из самых обсуждаемых и самых известных картин в русском искусстве.

Из истории картины. В 1913 г. К.С. Малевич работал над декорациями и костюмами к постановке оперы "Победа над солнцем". Именно в эскизах этих декораций впервые возникло изображение чёрного квадрата, как пластическое выражение победы активного человеческого творчества над пассивной формой природы: чёрный квадрат вместо солнечного круга. Это была декорация к пятой сцене 1-го действия, представляющая собой квадрат в квадрате, поделённый на две области: чёрную и белую.

Работа была выполнена Малевичем летом и осенью 1915 года. На последней футуристической выставке «0,10», открывшейся в Петербурге 19 декабря 1915 года Малевич впервые представил свою супрематическую систему.

Супрематизм (от лат. Supremus – наивысший) – одно из направлений абстрактной живописи, созданное в середине 1910-х гг. К. Малевичем.

Цель супрематизма – выражение реальности в простых формах (прямая, квадрат, треугольник, круг), которые лежат в основе всех других форм физического мира. В супрематических картинах остутствует представление о «верхе» и «низе», «левом» и «правом» – все направления равноправны, как в космическом пространстве. Пространство картины больше неподвластно земному тяготению (ориентация «верх – низ»), оно перестало быть геоцентричным, то есть «частным случаем» вселенной. Возникает самостоятельный мир, замкнутый в себе, и в то же время соотнесенный как равный с универсальной мировой гармонией.

Чёрное на белом означает соединённые начало и конец творчества форм, и неизбежную конечность творчества в каждой конкретной форме, придаёт геометрической фигуре новое, своё и живое „тело“, создаёт новую живописную фактуру. Малевич полагает, что ему удалось выделить ген живописного. Черный квадрат – это вера авангарда, вера в динамизм, скорость, отрыв от Земли и предметности, которые в совокупности ведут в новый духовный космос.

Возникают вопросы: Почему же картина вызвала столько споров? Почему именно квадрат изображен на ней?

Вот парадокс: с одной стороны, квадрат – очень простая и понятная геометрическая фигура, с другой стороны, квадрат – это новый непостижимый мир тайны, дверь в иные миры…

Давайте попробуем раскрыть эти тайны с позиции математических знаний.

Вспомним сначала определение квадрата. Что такое квадрат? (Ученики называют определения, они появляются на слайде: 1. квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны, 2. Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые).

Какие математические тайны связаны с квадратом?

1. Любому математику хорошо известно выражение «квадратура круга».

Эта задача была известна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. В то время у египетских математиков находятся первые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данному кругу, или определить соотношение между окружностью и её диаметром.

Древнегреческие математики еще издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную, равновеликую ей. Так появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Задача получила название квадратуры круга, и многие ученые пытались выполнить такое построение. Первая прямая ссылка на неё относится к V в. до н. э. Филосов Антифонт предложил решение (в полном виде оно не сохранилось). Считается, что оно состояло в следующем: производя последовательно удвоение сторон вписанного многоугольника, он получал в конце концов многоугольник с очень большим числом сторон, которые, по мысли Антифонта, должны совпадать с соответствующими им дугами окружности. Так как для любого многоугольника можно с помощью циркуля и линейки построить равновеликий квадрат, то такой квадрат можно построить и для данного круга.

Исследования другого известного математика древности Гиппократа Хиосского (ок. 400 г. до н.э.) также привели к задаче квадратуры круга. Он первый указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Но провести строгое доказательство ученый в то время еще не мог: не было подходящего метода.

Попытки Гиппократа решить задачу о квадратуре круга привели его к открытию квадрируемых фигур (то есть таких, площади которых выражаются в рациональных числах), ограниченных пересекающимися окружностями. Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, полученного коэффициента пропорциональности, одного и того же для всех кругов. Они впоследствии получили название гиппократовых луночек. Казалось бы, что с появлением таких луночек найден ключ к решению задачи о квадратуре круга. Она была бы решена, если бы удалось разбить круг на квадрируемые части.

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали различные инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой). Все предложенные решения в лучшем случае давали приближённое значение с достаточно хорошей точностью. Однако все-таки оставались принципиально приближёнными. Впрочем, авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения. Один из самых громких споров на эту тему произошёл в Англии между двумя выдающимися учёными XVII в., философом Томасом Гоббсом и математиком Джоном Валлисом. В весьма почтенном возрасте Гоббс опубликовал около десяти «решений» задачи о квадратуре круга.

Таким образом, с точки зрения математики квадратура круга – задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

Рисунок 1. Круг и квадрат одинаковой площади

Данная задача связана с проблемой неразрешимости. Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить переменной x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x² = π, откуда: x = . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все четыре арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Тщетность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие. Таким образом, возникла метафора «Квадратура круга», этот термин стал синонимом неразрешимых задач. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Так, неразрешимость некоторых задач служит отправной точкой новых математических исследований, интригует, стимулирует и способствует развитию творчества. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом π, и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

2. Следующее широко известное применение квадрата в развитии логического и критического мышления человека – Танграм (от китайского букв. «семь дощечек мастерства») – головоломка, состоящая из семи плоских фигур, которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т. д.). Фигура, которую необходимо получить, при этом обычно задаётся в виде силуэта или внешнего контура. При решении головоломки требуется соблюдать два условия: первое – необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе – фигуры не должны перекрываться между собой.

Хотя танграм часто считают изобретением глубокой древности, первое печатное упоминание о нём встречается в китайской книге, изданной в 1813 году и написанной, очевидно, в правление императора Цзяцина.

Появление танграма на западе относят не ранее чем к началу XIX столетия, когда эти головоломки попали в Америку на китайских и американских судах. Старейший такой экземпляр, подаренный сыну американского судовладельца в 1802 году, сделан из слоновой кости и хранится в шёлковом футляре.

Писатель и математик Льюис Кэрролл считается энтузиастом танграма. У него хранилась китайская книга с 323 задачами.

Книга Сэма Лойда «Восьмая книга Тан» (англ. The Eighth Book Of Tan), вышедшая в 1903 году (в эпоху Серебряного века), содержит вымышленную историю танграма, согласно которой эта головоломка была изобретена 4 тысячи лет назад божеством по имени Тан. Книга включает 700 задач, некоторые из которых неразрешимы.

Ученикам предлагается сложить несколько фигур и определить степень сложности этой работы (на слайдах).

Как это ни странно, но самыми сложными считаются самые простые на вид фигуры: треугольник, прямоугольник и, конечно же, сам квадрат.

Кроме того в математике танграм знаменит своими парадоксами. Парадокс танграма заключается в следующем: каждый раз, полностью используя весь набор, можно сложить две фигуры, одна из которых будет подмножеством другой. Один такой случай приписывается Дьюдени: две похожие фигуры изображают монахов, но у одной из них при этом есть нога, а у другой фигуры её нет. Разрешение этого парадокса можно найти во многих источниках.

3. Еще одна математическая загадка скрывается в известных с древних времен Магических квадратах. Учащимся предлагается выступление ученика 9 класса с презентацией исследовательской работы, в которой рассматривается история магических квадратов, их виды, способы решения и экспериментальная часть (Приложение 2). Особое внимание уделяется алгоритму решения магических квадратов 3х3, разработанному и доказанному самим учеником.

В конце занятия учащимся предлагается самостоятельно решить несколько задач по теме «Магические квадраты», используя алгоритм, разработанный учеником (при этом учитель и ученик консультируют по необходимости всех желающих).

1. В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали их суммы были равны между собой.

2. Даны числа:5,10,15,20,25,30,35,40,45. Выпишите их в клетки девятиклеточного квадрата так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали в сумме получилось одно и тоже число.

3. Разместите в свободных клетках квадрата ещё числа: 3, 4, 5, 6, 8, 9 так, чтобы по любой вертикали, горизонтали и диагонали в сумме получилось одно и тоже число.

Итак, занятие подошло к концу. Я думаю, что хоть мы и не раскрыли всех тайн квадрата, но узнали о нем много нового и необычного, смогли понять, почему именно квадрат стал символом Серебряного века. Желаю напоследок, чтобы все ваши жизненные проблемы и задачи были разрешимы и ни об одной из них вы не смогли бы сказать – «квадратура круга».

Спасибо за работу.