Цель:
- Выработать умение решать рациональные неравенства методом интервалов при кратных корнях, способствовать выработке у учащихся потребности и желания обобщения изученного материала;
- Развивать умение сравнивать решения, выявлять правильные ответы; развивать любознательность, логическое мышление, познавательный интерес к предмету
- Воспитывать аккуратность при оформлении решения, умение преодолевать трудности при решении неравенств.
Материалы и оборудование: интерактивна доска, карточки, сборник тестов.
Ход занятия
I. Организационный момент
II. Актуализация знаний
Фронтальный опрос класса по вопросам:
- При каких значениях переменной дробь имеет смысл (рис.1)?
Рис. 1
- Повторить алгоритм решения неравенств вида (x - x1)(x - x2)…(x - xn) > 0 или (x - x1)(x - x2)…(x - xn) < 0, где x1, x2, … xn не равные друг другу числа.
Алгоритм решения неравенств методом интервалов высвечивается на интерактивной доске:
Рис. 2
III. Изучение нового материала. Решение дробно-рациональных неравенств с кратными корнями методом интервалов.
Решение неравенств с кратными критическими значениями переменной связано, обычно, с наибольшими сложностями. Если ранее можно было расставлять знаки на интервалах просто чередуя их, то теперь при переходе через критическое значение знак всего выражения может не измениться. Мы познакомимся с так называемым методом «лепестков», который поможет преодолеть трудности, связанные с расстановкой знаков функции на интервалах.
Рассмотрим пример: (x+3)2 > 0/
Левая часть имеет единственную критическую точку х = - 3. Отметим ее на числовой прямой. Эта точка имеет кратность 2, поэтому можно считать, что у нас две слившиеся критические точки, между которыми также есть интервал с началом и концом в одной и той же точке -3. Будем отмечать такие интервалы «лепестками», как на рис.3. Таким образом, получились три интервала: два числовых промежутка (-∞; -3); (-3; +∞) и «лепесток» между ними. Осталось расставить знаки. Для этого вычислим знак на интервале, содержащего ноль, и на остальных расставим знаки, просто их чередуя. Результат расстановки знаков показан на рис.4
 |
 |
|
Рис. 3 |
Рис. 4 |
Ответ: x € (-∞; -3) U (-3; +∞)
Рассмотрим теперь более сложное неравенство (рис.5):
Введем функцию (рис.6):
Отметим на числовой прямой критические точки, учитывая их кратность, - на каждую дополнительную скобку с данным критическим значением рисуем дополнительный «лепесток». Так, на рис.7 у точки х=3 появится один «лепесток», так как (x-3)?=(x-3)(x-3).
Поскольку (x - 6)3 = (x - 6) (x - 6) (x - 6), у точки х = 6 появляются два «лепестка». Первым множитель учитывается точкой 6 на оси, а два дополнительных множителя учитываются добавлением двух «лепестков». Далее определяем знак на одном из интервалов и расставляем знаки на остальных, чередуя минусы и плюсы.
Рис. 7
Все промежутки, отмеченные знаком «+», и темные точки дают ответ.
X € [-4;-1) U {3} U (6;+∞).
IV. Закрепление нового материала
1. Решим неравенство:
Рис. 8
Разложим на множители левую часть неравенства:
Рис. 9
Сначала нанесем на координатную ось критические точки знаменателя, получаем (рис.10)
Рис. 10
Добавляя точки числителя, получаем (рис.11)
Рис. 11
А теперь, определяем знаки на интервалах и в «лепестках» (рис.12)
Рис.
12
Ответ: x € (-1; 0) U (0; 1) U {2}
2. Выбери числовые промежутки, которые являются решениями неравенств методом интервалов, учитывая кратность корней многочлена (рис.13).
Рис. 13
V. Итог занятия
В ходе беседы с классом делаем выводы:
1) Появляется возможность расставлять знаки на интервалах, просто их чередуя.
2) Отпадает необходимость считать кратность корней. Если имеются кратные корни, над критической точкой появляется то количество «лепестков», какова степень множителя.
3) При таком решении никогда не теряются одиночные корни.