Урок по теме "Системы счисления" в форме мастерской

Техническая карта конструирования урока с использованием средств ИКТ

Этап 1. Организация начала урока: создание психологической атмосферы урока, подготовка необходимого оборудования; введение учащихся в деловой ритм урока. Формирование цели и задач урока, ожидаемых результатов.

Введение учащихся в тему и стимулирование познавательной деятельности

Учащиеся объединяются в 4 команды по 4-5 человек, выбирают капитана.

Этап 2-3. Мотивация учебной деятельности и актуализация опорных знаний: подготовка к сознательному восприятию материала, стимулирование познавательного интереса; воспроизведения знаний, умений, жизненного опыта, необходимого для усвоения нового материала; оценка учителем уровня подготовленности учащихся.

Давайте рассмотрим задачу: Один школьный учитель на мой вопрос, много ли у него в классе учеников, ответил: “ У меня в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки”. Как вы думаете, может ли быть такое?

Предполагаемый ответ учеников: не может.

Чтобы убедиться в правильности ответа мы должны познакомиться с таким понятием как “система счисления”.

Это и будет тема нашего урока. На доске и в тетрадях записываем тему: “Системы счисления”.

Какие ассоциации возникают у вас при слове “позиция”?

на доске пишем слово “позиция” и записываем ассоциации

Примеры ответов:

• Мнения;
• Суждения;
• Поза в танце;
• Точка зрения;
• Место оборудованное;
• Права (человека);
• Поза любая
• Цифры и т.д.

А теперь посмотрите, какие определения слову “позиция” дают различные словари.

Раздаются словари, по одному на команду. Обсуждение в командах понятия и систематизация общего понятия “позиция”.

Каждая команда вносит необходимые изменения в схему на доске. Учащиеся добавляют правильные определения, несоответствующие – зачеркивают.

ПОЗИЦИЯ (от лат. POSITIO – положение)

1. Положение, расположение кого-либо, чего-либо (книж.). Позиция гласного в слове. Положение, обычное для какого-либо действия. Подводная лодка, заняв в третий раз позицию залпа, выпустила торпеды.
2. Расположение фигур в какой-либо момент игры (в шахматы, шашки). Сильная позиция ладьи в шахматной партии.
3. Положение тела; поза. (устар.) Положение тела; поза. У палатки ожидали – барон Беркенгельм в изящной позиции, сзолотым лорнетом - и мужиковатый, громоздкий---граф Пипер. А.Н.Толстой. Петр Первый. (муз.) Определенное положение рук, пальцев при игре на струнных муз. Инструментах. (спорт.) Положение вооруженной руки и оружия фехтовальщика по отношению к его телу. Удачная позиция фехтовальщика. (танц.) Определенное положение рук и постановка ног в танце. Первая позиция
4. (перен.) Точка зрения, принцип, положенные в основу поведения, действий кого-либо, чего-либо. Отстаивать свою п. по вопросам разоружения. Политика с позиции силы.
5. Место расположения войск в бою. Артиллерийская позиция. Выгодная позиция. Район военных действий. На передовых позициях. Отправиться на позиции.
6. техническое. Отдельный вид какого-либо оборудования.

Использованная литература:

1. Владимир Даль. Толковый словарь живого великорусского языка в четырех томах: М., 1990 т.3, стр.232
2. Словарь русского языка: в 4-х т./под ред. А.П.Евгеньевой. – 2-е изд., М., 1981-1984. т.3, стр.239
3. С.И.Ожегов. Словарь русского языка. – 6-е изд., м., 1964 стр.538
4. Советский Энциклопедический Словарь. – 3-е изд., м., 1984 стр.1020

Итак, по определению, позиция – это положение, расположение чего-либо, значит, и цифры имеют свои позиции. Посмотрите, пожалуйста, на доску.

С помощью, каких цифр записаны данные числа.

XXXI - 31

Предполагаемый ответ: числа записаны римскими и арабскими цифрами.

Чем отличаются между собой записи числа с помощью римских и арабских цифр?

Предполагаемый ответ: при записи числа римскими цифрами смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит.

Чтобы учащиеся вспомнили обозначение римских цифр, раздаются карточки:

Для записи промежуточных чисел используется правило:

Меньшие знаки, поставленные справа от большего, прибавляются к его значению.

Меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Посмотрите на следующую запись: XIII 13

Что обозначает каждая цифра в каждом числе?

Предполагаемый ответ: XIII: X – десять, III – три единицы,

13: 1 – десять, 3 – три единицы.

Этап 4. Изучение нового материала: Главный этап урока – усвоение учащимися новых знаний и способов действий.

Полученные нами выводы, давайте запишем в тетради:

Система счисления – способ записи чисел с помощью специальных знаков (цифр).

Системы счисления можно разделить

Далее мы будем говорить только о позиционных системах.

В современной математике используется позиционная десятичная система счисления. Это объясняется тем, что люди учились считать, используя пальцы, а у человека на каждой руке по пять пальцев. Было бы их шесть, считали бы мы не десятками, а дюжинами. А если бы у нас, как у лошадей, на руках и ногах были копыта, то арифметика была бы такой же, как у папуасов, - мы считали бы парами.

Запишем в тетрадях:

Алфавит системы счисления – это множество цифр, используемых при записи чисел в данной системе счисления.

Назовите, пожалуйста, алфавит для хорошо знакомой нам 10-ной системы счисления? Запишите в тетради.

Размер алфавита, количество знаков, используемых для изображения числа в этой системе счисления – называется основанием системы счисления.

Назовите основание 10-ной системы счисления?
Запишите в тетради.

А теперь, капитаны команд, подойдите к столу и вытащите судьбу вашей команды.

Капитаны команд вытаскивают карточки с надписями – кхмеры, шумеры, древляне и киберы.

• 1-я команда – жителями Кампучии - кхмерами,
• 2-я команда – шумерами, жившими 30 веков назад,
• 3-я команда – древлянами – племенем древних славян,
• 4-я команда – пришельцами из будущего - киберами.

Раздаются карточки с названиями и историческими сведениями.

Используя поисковую систему http://Google.ru найдите, какими системами счисления пользовались народы выпавшей вам страны.

Задание выполняется на 10 баллов

План рассказа

1. Историческая справка.
2. Записать систему счисления и числовой ряд…

Время подготовки – 10 мин,

Время выступления – 3 мин.

Все команды представляют жителей разных стран, живущих в разные времена и использующие разные системы счисления. Подготовьте рассказ по плану и приведите примеры использования вашей системы счета.

Числовой ряд вашей системы счета капитан выпишет в таблицу на доске.

Учащиеся готовятся, заполняют таблицы, выступают по плану.

Рассмотрим варианты систем счисления

Троичная система счисления

У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме “один” и “два”. А все, что шло после двух, называлось “много”. Это было зарождение троичной системы счисления.

Русская пословица говорит: “Обещанного три года ждут”

Иногда числом 3 обозначали весь окружающий человека мир – его делили на земное, подземное и небесное царства. Так число 3 стало у многих народов священным. Когда они придумывали легенды о богах, то выделяли из них трех самых главных.

В русских сказках число 3 играет особую роль: во многих из них участвуют 3 брата; в других герой сражается с трехглавым змеем или проходит три царства – медное , серебряное и золотое.

Числовой ряд (Алфавит) – 0, 1, 2;

Размер ряда (алфавита) = основание системы счисления: 3

Натуральный ряд, записанный арабскими цифрами: 0 1 2 10

Пятеричная система счисления

Древнейшим “счетным инструментом”, который сама природа представила в расположение человека, была его собственная рука.

При 5-м счете пальцы левой руки называют теми же словами, что и пальцы правой руки, но добавляют слово, означающее пять пальцев или руку. Так что шесть звучит чем-то вроде “одиннапять”. Эта система счета называется пятеричной. Так сначала считали шумеры, древние римляне, а также древние жители Мексики. Сейчас пятеричной системой счисления пользуются коряки, живущие в Восточной Сибири, и народы Кампучии – кхмеры.

Числовой ряд (Алфавит) – 0, 1, 2, 3, 4;

Размер ряда (алфавита) = основание системы счисления: 5

Натуральный ряд, записанный арабскими цифрами: 0 1 2 3 4 10

Примечание: формирование ряда натуральных чисел: в порядке возрастания записываются все однозначные числа, затем двузначные (первое двузначное число – всегда 10). Далее следуют все другие двузначные сочетания единицы с другими числами и т.д.

Двенадцатеричная система счисления

Серьезным соперником десятичной системы счета оказалась двенадцатеричная. Во многих странах даже теперь некоторые товары, например вилки, ножи, ложки, продают дюжинами. В столовый сервиз, как правило, входят по 12 глубоких, мелких и маленьких тарелок, а в чайный – по 12 чашек и блюдец,. 12 месяцев в году и т.д.

Откуда же взялся интерес к дюжине? Оказывается, что шумеры считали по фалангам пальцев . На каждом пальце руки, кроме большого, по три сустава, и перебирая их по очереди большим пальцем вели счет от 1 до 12.

Несомненные остатки 12-ричной системы счисления имеются у англичан - в системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).

Числовой ряд (Алфавит) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, А, В

Размер ряда (алфавита) = основание системы счисления: 12

Натуральный ряд, записанный арабскими цифрами: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А В 10

Двоичная система счисления

Компьютер обрабатывает числовую, текстовую, графическую, звуковую и видео информацию.

Возникает вопрос: “Как, каким образом, компьютер обрабатывает столь различающиеся по восприятию человеком виды информации?”

Все эти виды информации кодируются в последовательности электрических импульсов:

• есть импульс (1),
• нет импульса (0),

т.е. последовательности нулей и единиц. Такое кодирование информации в компьютере называется двоичным кодированием, в компьютере используется двоичная система счисления.

Числовой ряд (Алфавит) – 0, 1;

Размер ряда (алфавита) = основание системы счисления: 2

Натуральный ряд, записанный арабскими цифрами: 0 1 10

Арифметические операции в двоичной системе счисления:

http://900igr.net/prezentatsii/matematika/Sistemy-schislenija-urok/015-Dvoichnaja-arifmetika.html - слайд с сайта

Теперь заполняем на доске таблицу для шести систем счисления, используя.

В результате получили таблицу числовых рядов в различных системах счисления

Числовые ряды

10-чная	2-чная	3-чная	5-чная	12-чная	16-чная
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3
4	100	11	4	4	4
5	101	12	10	5	5
6	110	20	11	6	6
7	111	21	12	7	7
8	1000	22	13	8	8
9	1001	100	14	9	9
10	1010	101	20	А	А
11	1011	102	21	В	B
12	1100	110	22	10	C
13	1101	111	23	11	D
14	1110	112	24	12	E
15	1111	120	30	13	F
16	10000	121	31	14	10
17	10001	122	32	15	11
18	10010	200	33	16	12
19	10011	201	34	17	13
20	10100	202	40	18	14
21	10101	210	41	19	15
22	10110	211	42	1А	16
23	10111	212	43	1В	17
24	11000	220	44	20	18
25	11001	221	100	21	19
26	11010	222	101	22	1A
27	11011	1000	102	23	1B
28	11100	1001	103	24	1C
29	11101	1002	104	25	1D
30	11110	1010	110	26	1E
31	11111	1011	111	27	1F
32	100000	1012	112	28	20

Таблица заполнена. Обратите внимание, что в каждой системе счисления встречается запись 10, но эти числа не равны друг другу. Поэтому обязательно указывать, в какой системе счисления используем запись числа. Для этого записываем в нижний индекс основание системы счисления таким образом:

• 10₁₀ = 10₁₀
• 10₂ = 2₁₀
• 10₃ = 3₁₀
• 10₅ = 5₁₀
• 10₁₂ = 12₁₀
• 10₁₆ = 16₁₀

Теперь рассмотрим, как можно представить число, разложив его по разрядам различных систем счисления и затем представив его в десятичной системе счисления.

Числовые ряды

Запись с помощью арабских цифр.

Основание системы счисления	Номера позиций				Алфавит системы счисления		Значение числа в 10-чной системе счисления
	3-я	2-я	1-я	0-я
					Кол-во символов	Какие символы
12	1728 = 123	144 = 122	12 =121	1=120	12	0,1,..,9,А,В	1.123+1.122+1.121+1.12 =1728+144+12+1 = 188510
5	125 = 53	25 = 52	5 = 51	1 = 50	5	0,1,2,3,4	1.53+1.52+1.51+1.50 = 125+25+5+1 = 15610
3	27 = 33	9 = 32	3 = 31	1 = 30	3	0,1,2	1.33+1.32+1.31+1.30 = 27+9+3+1 = 4010
2	8 = 23	4 = 22	2 = 21	1 = 20	2	0,1	1.23+1.22+1.21+1.20 = 8+4+2+1 = 1510
10	1000=103	100=102	10=101	1=100	10	0 - 9	1.103+1.102+1.101+1.100 = 1000+100+10+1 = 111110
Х	Х3	Х2	Х1	Х0	Х	0,..Х-1	1.Х3+1.Х2+1.Х1+1.Х0

Глядя на эту таблицу, скажите, пожалуйста, почему нумеровать позиции цифры в числе, мы начинаем с нуля?

Предполагаемый ответ:

Номер позиции совпадает со степенью основания системы счисления в данной позиции.

А теперь рассмотрим, если система счисления с основанием Х. Запишите алфавит и размер алфавита в его системе счета. Теперь переведите его денежную сумму в наши рубли.

Ответ дописываем в таблицу, нижняя строка 1^.Х³+1^.Х²+1^.Х¹+1^.Х⁰

А если у нас вот такая сумма денег:

а₃а₂а₁а₀

Переведите это число в десятичную систему счисления.

Запись в тетрадях:

Таким образом, мы с вами получили формулу для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную:

A3^.Х³+A2^.Х²+A1^.Х¹+A0^.Х⁰

Этап 5. Первичная проверка усвоения знаний. Первичное закрепление знаний. Контроль и самопроверка знаний: Воспроизведение изученного материала; систематизация и обобщение, выполнение заданий на изучение главного в новой информации, выполнение творческих заданий на основе изученного; первичная проверка уровня усвоения и понимания материала.

Теперь вернемся к задаче с начала урока и попробуем её решить.

Один школьный учитель на мой вопрос, много ли у него в классе учеников, ответил:

“У меня в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки”.

Пусть Х – основание системы счисления. Тогда у него х² учеников, из них 2х + 4 мальчика и 3х + 2 девочки. Таким образом,

2х + 4 + 3х + 2 = х²,

Или

х² - 5х - 6 = 0,

откуда

,

т.е. Х₁ = 6, Х₂ = -1.

Так как –1 не может быть основанием системы счисления, то Х = 6. Следовательно, ответ учителя был дан в шестеричной системе; при этом у него было 36 учеников, из них 15 мальчиков и 20 девочек.

А сейчас вы сами решите любые 5 задач, посмотрим, кто будет лидировать, по желанию можно выполнить все задания.

Команды учащихся получают карточки и решают задачи.

Задача 1. Задание на 2 балла

Космонавт и инопланетянин

В далеком созвездии Тау-Кита у жителей нет рук и ног, зато есть щупальца на широком лбу. Число щупалец положено в основу системы счисления на этой планете. Представим себе следующий разговор:

Космонавт-землянин: Я вижу, что на вашей планете семьи очень многочисленные. Сколько же у вас детей?

Тау-китянин: Если не ошибаюсь, 33 сына и 50 дочерей, значит всего 113.

Сколько детей у инопланетянина и сколько щупальцев у него на лбу в десятичной системе счисления?

Ответ: пусть основание равно X, тогда (33)_X+(50)_X=(113)_X, т.е. 3Х+3+5Х=Х²+Х+3, откуда 7Х=Х², откуда Х=7 , решение Х=0 исключается

Задача 2. Задание на 2 балла

В саду 100x фруктовых деревьев, из которых 33x – яблони, 22x – груши, 16x – сливы, 17x - вишни.

Чему равно основание системы счисления (x).

Решение.

1. Заметим, что все слагаемые – двузначные числа. В любой системе счисления их можно представить так:

a.x1+ b.x0= ax + b, где a и b – это цифры соответствующих разрядов числа.

Для трехзначного числа будет так:

a.x2+ b.x1+ c.x0= ax2+ bx + c

2. Условие задачи таково:

33x+ 22x+ 16x+ 17x= 100x

Подставим числа в формулы:

3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x2 + 0x + 0

7x + 18 = x2

3. Решим квадратное уравнение:

-x2 + 7x + 18 = 0

D = 72– 4.(-1).18 = 49 + 72 = 121. Квадратный корень из D равен 11.

Корни квадратного уравнения:

x = (-7 + 11) / (2.(-1)) = -2 или x = (-7 - 11) / (2.(-1)) = 9

4. Отрицательное число не может быть основанием системы счисления. Поэтому x может быть равен только 9.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 9.

Задача 3 Задание на 1 балл

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Решение.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

110 = 1.x2+ 1.x1+ 0.x0= x2+ x

Нам надо получить 12. Пробуем 2: 22+ 2 = 6. Пробуем 3: 32+ 3 = 12.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.

Задача 4. Стихотворение А. Н. Старикова “Необыкновенная девочка”. Переведите числа стихотворения в десятичную систему счисления.

Задание на 2 балла

Ей было тысяча сто лет,
Она в 101 класс ходила.
В портфеле по 100 книг носила.
Все это правда, а не бред.
Когда пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато стоногий,
Она ловила каждый звук
Своими десятью ушами,
И 10 загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И 10 темно-синих глаз
Оглядывали мир привычно.
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.

Ей было 12 лет
Она в 5 класс ходила.
В портфеле по 4 книги носила.
Все это правда, а не бред
Когда пыля 2 ногами,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок
С одним хвостом, зато 4 ногий,
Она ловила каждый звук
Своими 2 ушами,
И 2 загорелые руки
Портфель и поводок держали
И 2 темно-синих глаз
Оглядывали мир привычно.
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ

Задача 5 Задание на 2 балла

Определите четное число или нечетное:

а) 101₂

б) 110₂

в) 1001₂

г) 100₂

Сформулируйте критерий четности в двоичной системе.

Ответ: четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, а нечетное – на 1.

а) 101₂ = 5₁₀ ;

б) 110₂ = 6₁₀ ;

в) 1001₂ = 9₁₀ ;

г) 100₂ = 4₁₀

Задача 6 Задание на 1 балл

Может ли быть верным равенство 7 + 8 = 16?

Ответ: в 9-ой сс

Задача 7 Задание на 2 балла

Переведите координаты точек в десятичную сс, можно использовать таблицу. Отметьте точки на координатной плоскости и определите получившийся рисунок.

Двоичный код	Десятичный код
(10;10)	(2;2)
(10;1101)	(2;13)
(1010;1101)	(10;13)
(111;1011)	(7;11)
(1010;1001)	(10;9)
(10;1001)	(2;9)

Ответ: флажок

Задача 8 Задание на 10 баллов

Числовой лабиринт.

Переведите числа, записанные в различных системах счисления, в десятичную систему счисления; затем полученные после вычисления числа замените порядковым номером буквы русского алфавита; запишите полученное слово.

Ответ: ДИСКОВОД

Задача 9. Задание на 5 баллов

Рождение цветка.

Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй ... и вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти

Ответ: 10010001₂=145 дней

Задача 10. Кроссворд

Задание на 2 балла.

Ответы на кроссворд.

По горизонтали:1. Позиционная. 2. Базис. 3. Цифры.

По вертикали:1. Основание. 2. Алфавит.

Этап 6. Подведение итогов урока. Рефлексия: Установить соответствие между поставленными задачами урока и результатами, внесение корректив, анализ учебной деятельности.

Рефлексия:

• Какое задание было самым интересным?
• Какое задание, по вашему мнению, было самым сложным?
• С какими трудностями вы столкнулись, выполняя задания?
• Какие задания вы считаете самыми интересными и какие задания можете предложить по данной теме?

Вы сегодня работали хорошо, справились с поставленной перед вами задачей, а также показали хорошие знания по теме “Системы счисления”. За работу на уроке вы получаете следующие оценки (объявляются оценки каждого ученика за работу на уроке).

Спасибо всем за хорошую работу. Молодцы! 

Этап 7. Информация о домашнем задании: Сообщение об объеме и содержании домашнего задания, инструктаж относительно его выполнения.

Задание на дом

Придумайте рисунок на координатной плоскости и составьте для него таблицу координат, представленных в различных системах счисления.

Мастерская окончена. Спасибо!

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Н.Е. Кобринский, В.Д. Пекелис “БЫСТРЕЕ МЫСЛИ” – М., 1959 (стр.145)
2. Владимир Даль. Толковый словарь живого великорусского языка в четырех томах: М., 1990 т.3, стр.232;
3. Словарь русского языка: в 4-х т./под ред. А.П.Евгеньевой. – 2-е изд., М., 1981-1984. т.3, стр.239;
4. С.И.Ожегов. Словарь русского языка. – 6-е изд., м., 1964 стр.538;
5. Советский Энциклопедический Словарь. – 3-е изд., м., 1984 стр.1020;
6. http://900igr.net/prezentatsii/matematika/Sistemy-schislenija-urok/015-Dvoichnaja-arifmetika.html - слайд с сайта “математика”;
7. http://www.rusedu.info/Article882.html - информационные технологии в образовании;
8. http://inf1.info/egedigit2 - планета информатики;
9. http://www.eidos.ru/journal/2012/0529-07.htm - эйдос;
10. Л.Л. Босова, А. Ю. Босова, Ю.Г. Коломенская; Занимательные задачи по информатике;
11. http://google.ru – google картинки;
12. http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/9_139.swf - историч чисел и систем счисления.