Цели урока:
- изучить теорему Виета и обратную ей теорему;
- показать применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений;
- способствовать выработке у учащихся умения анализировать и обобщать изучаемые факты; развивать самостоятельность путем выполнения индивидуальных творческих и опережающих заданий;
- стимулировать интерес к предмету, используя дополнительную литературу по истории математики.
Ход урока
1. Организационный момент. Постановка целей урока.
Вступительное слово учителя.
2. Устная работа с целью совершенствования вычислительных навыков.
Представьте число в виде произведения двух целых множителей: 18, -24, 12, -27.
Выполните действия:
-5 + 3; -4 * 2; - 3 – 5;
-10 + (-2); -16 : 8; 5* (-3).
3. Изучение нового материала.
| 1) Сильные учащиеся (3 человека) получают
задание решить уравнения: x2-2x-3=0 x2+5x-6=0 x2-x-12=0 x2+7x+12=0 x2-8x+15=0 x2-13x+42=0 |
1) С остальными слушаем сообщение о выдающемся французском математике Франсуа Виета (готовит ученик.) |
2) Исследовательская работа №1.
По готовому решению все вместе заполняем таблицу, заготовленную на доске.
| уравнение | Корни x1;x2 | x1+x2 | x1* x2 |
| x2-2x-3=0 | -1;3 | 2 | -3 |
| x2+5x-6=0 | -6;1 | -5 | -6 |
| x2-x-12=0 | -3;4 | 1 | -12 |
| x2+7x +12=0 | -3;-4 | -7 | 12 |
| х2-8x+15=0 x2-13x+42=0 |
3;5 6;7 |
8 13 |
15 42 |
3) Анализируем таблицу и устанавливаем закономерность между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Пытаемся сформулировать теорему.
4) Закрепление формулировки теоремы. Выполнить устно № 573.
| 5) Для сильных учащихся рассмотреть доказательство теоремы Виета. (у доски доказательство проводит ученик, имевший опережающие задание: изучить теорему самостоятельно.) | 5) Для слабых первичное самостоятельное
закрепление формулировки. Работа по карточке №1. Найти сумму и произведение корней уравнения: x2-16x+28=0 x2-12x-45=0 3x-40+x2=0 x2-27x=0 x2-12=0 |
6) Заслушать слабых учащихся и проанализировать их ответы.
7) Понятие обратной теоремы и сформулировать ее для теоремы Виета (доказательство обратной теоремы учащимся рассмотреть дома самостоятельно) Обратить внимание учащихся на практическую значимость обратной теоремы. С этой целью выполнить устно №576.
8) Обобщение теоремы Виета для произвольного квадратного уравнения.
Учитель выполняет необходимые записи на доске и формулирует обобщенную теорему Виета в стихотворной форме:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни и дробь уж готова
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.
9) Решение задачи с применением теоремы Виета №578 ( комментированное решение).
4. Исследовательская работа №2
Проверьте, что число 1 является корнем уравнения:
- x2+17x-18=0;
- x2-19x+18=0;
- 12x2-35+23=0.
Используя теорему Виета найдите второй корень для каждого уравнения.
Какая особенность коэффициентов объединяет эти уравнения?
Сформулируйте установленное свойство в форме утверждения: Если..., то....
5. Итог урока. Обучающая самостоятельная работа по индивидуальным карточкам на три уровня. Образец карточки.
“3” Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 7 и –3. |
“4” Решите уравнение подбором корней x2-11x+30=0 |
“5” В уравнении x2-px+45=0 один из корней равен –5. Найдите второй корень и коэффициент p. |
6. Домашнее задание. П.23 (изучить). №575(а,б), №575 (устно), доделать карточку №2.