Ключевым элементом в структуре многих уроков является изучение нового материала. Во взаимосвязи с ним решаются на уроках остальные вопросы: закрепление, контроль и т.д. Обучение математике связано с решением проблем, возникающих при изучении математических понятий, предложений и доказательств. Выделим три основных этапа:
- Подготовка к восприятию;
- Введение нового материала;
- Первичное осмысление этого материала.
Этап подготовки к восприятию нового материала связан с формированием опорных знаний и этого недостаточно для обеспечения готовности учащихся к получению новых знаний. Эта проблема встречается, когда в процессе преподавания не уделяется внимания мотивировке изучения нового или актуализации опорных знаний.
Я рассмотрю на примерах некоторые способы решения данной проблемы.
Например, подготовка к изучению понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников через выявление их существенных признаков и актуализацию опорных знаний можно осуществить после рассмотрения теоремы о сумме углов треугольника, предварительно решив систему упражнений:
- Какой угол называется острым, прямым, тупым?
- Изобразите эти углы.
- Если один из углов треугольника прямой, то чему равна сумма двух других углов?
- Если один из углов треугольника тупой, то будет ли сумма двух других углов меньше 90 градусов?
- Почему два угла треугольника будут острыми, если третий угол тупой?
- Если все углы треугольника равны, то чему равен каждый из них?
- Могут ли все углы треугольника быть острыми?
При подготовке к изучению других понятий я использую практические примеры, показывающие целесообразность их изучения, соответствующие наглядные пособия, привожу краткие исторические справки. Определяя некоторое математическое понятие, свожу его к более общему, которое при определении сводится к более общему понятию. Таким образом, мы приходим к понятиям, не сводимым к другим, и называются они основными понятиями.
Для подготовки учащихся к восприятию формулировок теорем я организую совместно с учениками деятельность по выдвижению гипотез. Перед изучением теоремы о сумме внутренних углов треугольника, заготавливаю несколько бумажных моделей различных треугольников. Вырезав все “углы” какого-нибудь треугольника, складываем их и замечаем, что они образуют примерно развернутый угол. Проделав то же самое с другими треугольниками, замечаем, что этот факт не случаен. Теперь вместе с учениками составляем и уточняем гипотезу: может быть сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Изучение следствий, свойств, признаков, формул возможно через целенаправленное формирование вспомогательных навыков.
Например, к моменту изучения формулы разности квадратов двух выражений учащиеся должны знать, читать и записывать сумму двух выражений, их разность, произведение суммы двух выражений и их разности, квадраты данных выражений, разность квадратов двух выражений и разность квадратов двух выражений и квадрат разности двух выражений.
Достигается это путем выполнения на нескольких уроках подряд соответствующих упражнений до формирования у учащихся устойчивых навыков по распознаванию, чтению и записи отмеченных выражений.
Среди различных способов ознакомления с новым материалом я выделю три:
- Новый материал объясняется самим учителем;
- Совместная деятельность учителя и учащихся;
- Новый материал отрабатывается учениками самостоятельно.
Изучение новых понятий связано с введением соответствующих определений, терминов и символов, их обозначающих. Важно выявить в определениях родовое понятие и существенные свойства. Последовательность введения математических понятий может быть различной.
Так, выполнение системы упражнений по подготовке к изучению видов треугольников в зависимости от величины их углов можно завершить, введя соответствующие термины и констатируя положения:
- что в каждом случае мы рассматривали треугольники (устанавливается определяющее понятие);
- в остроугольном треугольнике все углы острые, в прямоугольном – один из его углов прямой, в тупоугольном – один из его углов тупой (устанавливаются существенные признаки определяемого понятия).
Тогда последующее формулирование определений понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников не вызовет затруднений у учащихся. В таких случаях им можно предложить самостоятельно изучить соответствующий материал по учебнику.
При любом способе введения математических предложений важно тщательно разъяснить учащимся их формулировки. Не понимая смысла понятий и отношений, используемых в формулировках математических предложений, учащиеся не могут уяснить их содержания в целом. Если речь идет о теореме, следует выделить что “дано” и что “ требуется доказать” по формулировке теоремы и только после этого, выделив условие и заключение теоремы, начинать доказывать ее. Теорему “Вертикальные углы равны” можно переформулировать в “Если два угла вертикальные, то они равны”. В этой формулировке теоремы появились явные ориентиры: ее условие заключено между союзами “если” и “то”, а заключение – за союзом “то”. Умение переводить формулировки теорем из категоричной в условную понадобится при выдвижении гипотез перед введением теорем, и при открытии теорем.
В учебниках при изложении теории используются, в основном, синтетические доказательства. Их достоинства – это исчерпывающая полнота и краткость. Мы обрекаем учащихся на пассивное наблюдение за ходом их проведения, так как выбираемая в ходе проводимого доказательства последовательность рассуждений становится понятной после его завершения. Рассмотрим аналитическое доказательство математического предложения (доказательство, ведущееся в направлении от его заключения к условию). Возьмем теорему “Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм”. Доказательство признака начнем начнем с его заключения. Для того, чтобы четырехугольник являлся параллелограммом, достаточно доказать параллельность его сторон. Чтобы стороны четырехугольника были параллельны, достаточно использовать один из признаков параллельности прямых: например, доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей. Такие накрест лежащие углы можно получить, если провести диагональ четырехугольника. Для доказательства равенства этих углов достаточно доказать равенство получившихся треугольников в четырехугольнике. Для док азательства равенства этих треугольников достаточно использовать один из признаков равенства треугольников.
Аналитический метод позволяет мотивировать выполнение дополнительных построений и всей последовательности рассуждений при проведении доказательств.
Но я на своих уроках пытаюсь применять аналитико-синтетические доказательства с использованием как цепочек выводов, идущих от условия, так и цепочек выводов, ведущих к заключению. После замыкания этих цепочек прослеживается все доказательство от условия до заключения. Эта методика позволяет вовлекать учащихся в совместную деятельность с учителем и для самостоятельного “открытия” ими теорем.
Осмысление учащимися математических предложений и доказательств достигается в ходе овладения ими умений:
- устанавливать по предложенным формулировкам математических предложений их условия и заключения;
- выявлять идею выполненного доказательства математического предложения;
- применять введенное математическое предложение в простейших случаях.
Реализуя идею системно-деятельностного подхода к обучению школьников, надо обеспечить “ориентировку” в новом материале, которая достигается фиксированием его основного содержания, подлежащего усвоению, и способов работы с ним. Данная система ориентиров должна быть представлена в таком виде, чтобы ученик мог правильно воспользоваться ими с первого же раза. В этих целях употребляются схематические записи, соответствующие образцы применения нового материала при решении задач.
Методические концепции, заложенные в школьных учебниках, ориентированы на введение математических понятий в рамках уроков ознакомления с новым материалом. При укрупнении дидактических единиц в ходе изучения нового материала я применяю уроки-лекции. Если новый материал равномерно распределен в системе уроков, я применяю комбинированные уроки. Для овладения ведущими идеями изучаемых тем подходят уроки обобщения и систематизации знаний. Если в ходе изучения нового материала применяются знания других предметов, то провожу интегрированные уроки.