Основные понятия
Опеределение 1. Уравнение f(x) = g(x) называется иррациональным, если функции f(x) и g(x) – алгебраические и по крайней мере одна из них иррациональна относительно x (т.е. содержит переменную x в подкоренном выражении).
Основным техническим приемом, который используется при решении иррациональных уравнений, является возведение обеих частей уравнения в одну и туже степень. Если рассматривать уравнения над полем действительных чисел, то это преобразование регулируется следующими теоремами.
Теорема 1. Уравнение.
Эквивалентно уравнению
Теорема 2. Уравнение.
Эквивалентно смешанной системе:
Пример 1. Решить уравнение
Возведем обе части уравнения в четвертую степень:
Корень x=2 удовлетворяет этому неравенству.
Проверка:
Ответ: 2.
Иррациональные уравнения, если неизвестное находится в подкоренном выражении корня четной степени, имеют, как правило, ограниченную область допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ иррационального уравнения определяется условием: Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным.
Метод уединения радикала
Суть этого метода состоит в следующем. Радикал (корень) оставляют в одной части уравнения, а остальные члены уравнения переносят в другую часть. После этого обе части уравнения возводят в степень, показатель которой равен показателю уединенного радикала. Если уравнение содержит несколько радикалов, то процедура уединения производится над одним из них, после чего повторяется вплоть до полного избавления уравнения от корней.
Пример 2. Решить уравнение
Найдем ОДЗ.
, 
, 
Решим уравнение.
, 
Очевидно, что оба корня входят в ОДЗ, но x=13 не удовлетворяет неравенству x < 8, а следовательно, этот корень посторонний.
Проверка:
Ответ: 5.
Метод замены переменной
Суть метода замены переменной (метод этот универсален и применяется отнюдь не только к иррациональным уравнениям) состоит в том, что некоторое выражение заменяется новой переменной, в результате чего получаем более простое уравнение. Решим это уравнение, выполняем обратную замену и получаем уравнение либо объединение уравнений (в зависимости от количества корней уравнения с новой переменной).
1) Уравнение вида
При решении уравнений этого типа напрашивается замена:
Пример 3. Решить уравнение.
Так как
Уравнение примет вид:
Сделаем замену:
Получим:
Очевидно, что так как:
Противоречит смыслу замены уравнение:
Не может иметь решений, подставим:
Проверка:
Ответ: 64.
Метод приведения иррационального уравнения к системе уравнений
Суть этого метода состоит в том, что два иррациональных выражения обозначаются двумя различными переменными, в результате чего мы получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными (в принципе, возможна и замена, приводящая к системе с большим количеством неизвестных).
Пример 4. Решить уравнение.
Сделаем замену:
Поскольку левые части обоих равенств одинаковы, мы вправе приравнять их правые части:
Второе уравнение системы получим, выполнив замену в уравнении:
Решим систему:
Решим уравнение:
Система имеет два решения:
Выполним обратную замену:
Таким образом, 
Решение для a и b должны были получиться одинаковыми.
Сделаем проверку, хотя ОДЗ уравнения – множество всех действительных чисел, а в процессе решения мы не прибегали к преобразованиям, которые могли бы привести к появлению посторонних корней.
Ответ:
Список литературы
- Бесчетнов В.М. Математика: Курс лекций для учащихся 7-11 классов: в 2-х т.: Т.1. – М.: Демиург, 1994. – 288 с.
- Гайшут О.Г., Литвиненко Г.М. Алгебра. Решение задач и упражнений. – Киев: “Магистра – S№”, 1997. – 256 с.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. – М.: Илекса, Хариков: Гимназия, 1998. – 320 с.
- Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. – М.: Издательство Фактория, 1997. – 217 с.
- Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф, 1997. – 384 с.