Урок по теме "Однородные тригонометрические уравнения"

Цели урока:

• Образовательные: сформировать у учащихся умения решать однородные тригонометрические уравнения;
• Развивающие: развивать умения применять имеющиеся знания в измененной ситуации; развивать логическое мышление, культуру речи.
• Воспитательные: воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности, самостоятельности.

Оборудование урока:

1. Проектор.

2. Таблицы по тригонометрии:
а) основные формулы тригонометрии;
б) решение тригонометрических уравнений (частные случаи);
в) значения тригонометрических функций.

Содержание урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания, повторение изученного материала.
3. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала.
4. Усвоение новых знаний
5. Проверка понимания учащимися нового материала.
6. Закрепление нового материала.
7. Проверка усвоения нового материала.
8 Подведение итогов урока.
9. Домашнее задание.

1. Организационный момент.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке (рабочее место, организация внимания, настрой на работу).

2. Проверка домашнего задания.

Задача: установить правильность выполнения домашнего задания всеми учащимися;
установить пробелы в знаниях.

Проверка домашнего задания через проектор.

Повторение изученного материала. Установите соответствие:

Выписав буквы, соответствующие ответам, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.

Ребята прочитают слово “однородные”.

3. Подготовка учащихся к сознательному усвоению нового материала.

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений

Учитель обращает внимание учащихся на проектор, где записаны тригонометрические уравнения, и предлагает учащимся назвать те уравнения, способы решения которых им известны.

cos(x – 1) = 1/2

cos²x – 2cosx = – 1

3sin²x – 5sinx – 2 = 0

2sinx – 3cosx = 0

(tgx – √3)(2sinx+1) = 0

sin²x + 2sinx cosx – 3cos²x = 0

Учащиеся внимательно смотрят. Затем поднимают руку, выбирают уравнение и объясняют, как они его будут решать. После этого, если к решению нет дополнений, то уравнение стирается. В результате проделанной работы остались уравнения, которые учащиеся затрудняются решить:

2sinx – 3cosx = 0

sin²x + 2sinx cosx – 3cos²x = 0

4. Усвоение новых знаний.

Задача: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, познакомить со способом их решения, уметь определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решений.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске: “Это однородные тригонометрические уравнения”, и предлагает учащимся записать тему урока: “Решение однородных тригонометрических уравнений”.

Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.

Пример: а) 2sinx – 3cosx = 0

Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим:

Ответ: x = arctg1,5 + πn, n € Z.

Обратите внимание, делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0.Итк, рассуждаем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус не могут одновременно равняться нулю. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:

• Деление обеих частей уравнения на cosx, cosx ≠ 0

Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решают также деление обеих частей уравнения на косинус mх.

Уравнение вида a sin²x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Пример: sin²x + 2sinx cosx – 3cos²x = 0

Учитель: Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

Ответ: Да, каждый.

Учитель: Какой мы можем сделать вывод?

Ответ: Это уравнение однородное.

Учитель: Как мы решаем такое уравнение?

Ответ: Мы делим обе части уравнения на cos²x ≠ 0, т.к. sinx и cosx одновременно нулю равняться не могут.

Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен 0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs²х.

Получим tg²x + 2tgx – 3 = 0

Решаем путем введения новой переменной.

Замена tgx = t . Тогда получаем уравнение

t² + 2t – 3 = 0

Д = 4 – 4 (–3) = 16

t₁ = 1, t₂ = –3

Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos²x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки

Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin²x +2sinx cosx = 0

решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки.

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени:

• Посмотреть, есть ли в уравнении член asin² x.
• Если член asin² x в уравнении содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается делением обеих частей уравнения на cos²x и последующим введение новой переменной.
• Если член asin² x в уравнении не содержится (т.е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят cosx.

Однородные уравнения вида a sin²m x + b sin mx cos mx + c cos²mx = 0 решаются таким же способом.

5. Проверка понимания учащимися нового материала.

Задача: выяснить, как усвоен учащимися способ решения уравнений нового вида.

Через проектор даны уравнения.

Найти среди уравнений однородные, определить их вид и указать способ решения.

1. sinx = 2cosx – однородное.
2. √3sin3x – cos3x = 0 – однородное.
3. sin²x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное.
4. 2cos²x + 3sin²x + 2cosx = 0 – квадратное.
5. 6sin²x – cos²x – 5sinxcosx = 0 – однородное.
6. 2sinxcosx = 2 – по формуле синуса двойного угла.
7. 2 sin(3х-п/4)= 1 – простейшее.

6. Закрепление нового материала.

Задача: закрепить знания и умения, которые учащиеся получили на уроке.

Двое учащихся работают у доски.

1) sin3x – cos3x = 0, cosx ≠ 0 √3tg3x – 1 = 0 √3tg3x = 1 tg3x = 1/√3 3x = arctg(1/√3) + πn, n € Z 3x = π/6 + πn, n € Z x = π/18 + πn/3, n € Z Ответ: π/18 + πn/3, n € Z

2) 6sin2x – cos2x – 5sinxcosx = 0 cos2x ≠ 0 6tg2x – 1 – 5tgx = 0 Замена tg x = t 6t2 – 1 – t = 0 D = 25 – 4·6· (–1) = 49 t1,2 = (5 ± 7)/12 = 1; –1/6 Обратная замена tgx = 1 x = π/4 + πn, n € Z или tgx = –1/6 x = arctg(–1/6) + πk, k € Z Ответ: π/4 + πn; arctg(–1/6) + πk, n,k € Z

7. Проверка усвоения нового материала.

Задача: проверить знания учащихся при решении уравнений, развить самоконтроль, взаимоконтроль.

Самостоятельная работа. Решить уравнения.

1. 2 cosx – √2 = 0
2. tg2x +1 = 0
3. 2cos²x – 3cosx +1 = 0
4. 3 sin²x + sinx cosx – 2 cos²x = 0

По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются через проектор.

Решение самостоятельной работы.

Критерии оценивания.

Решено верно: 4 задания – “5”; 3 задания – “4”; 2задания – “3”1 задание – “2”.

8. Подведение итогов урока.

1. С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились на уроке?
2. Алгоритм решения тригонометрических уравнений первой и второй степени.

9.Домашнее задание. п.23, № 23.1 – 23.5(б), 23.8(а), 23.12 – 23.14(а).

Список литературы.

1. А.Г. Мордкович, П. С. (2010). Алгебра и начала анализа 10 (Задачник). Москва: Мнемозина.
2. А.Г. Мордкович, П. С. (2010). Алгебра и начала анализа 10 (Учебник). Москва: Мнемозина.