Цели урока: Показать где на практике встречаются и применяются различные геометрические фигуры, изученные в школе, познакомиться с применениями математики в различных областях народного хозяйства, использовать известные формулы для вычисления тех или иных геометрических величин (длин, площадей, объемов), укрепить уверенность учащегося в том, что с математикой действительно сталкиваешься на каждом шагу, что «математика всюду», что она действительно необходима человечеству. Повысить интерес к математики.
Тип урока: урок-экскурсия, применение знаний на практике.
Метод обучения: исследовательский, объяснительно-иллюстративный, поисковый.
Средства обучения: измерения на местности, практическая часть.
Оборудование: теодолит, нивелир, зазорник.
Подготовительная работа:
Хорошо подготовленные экскурсии приводят к лучшему пониманию учащимися отдельных вопросов курса математики.
Подготовка экскурсии началась задолго до ее проведения. Вначале учитель ознакомился со специальной литературой по строительству и эксплуатации железных дорог, проконсультировался у специалистов-железнодорожников. После этого был составлен список вопросов, которые предполагалось рассмотреть во время экскурсии. Заранее был выбран участок железной дороги для проведения экскурсии, подготовлены измерительные инструменты и необходимые наглядные пособия.
Опыт проведения производственных экскурсий показывает, что во многих случаях учителю нецелесообразно перепоручать проведение всей экскурсии по математике инженеру или технику соответствующей специальности, так как последний не обладает педагогическим опытом, слишком много внимания уделяет чисто техническим деталям, не делает достаточного ударения на вопросы, связанные с изучением математики в школе, плохо представляет себе «математические возможности» учащихся. Поэтому при проведении данной экскурсии основная часть вопросов была освещена учителем, а другая часть — работником железной дороги.
Ход урока
Экскурсия проводилась не в виде связного рассказа и показа. Перед учащимися ставились вопросы и задачи, требующие применения математики. Были среди этих вопросов и такие, на которые школьники не могли сразу дать ответ. Важно было, чтобы они задумывались над этими вопросами.
Непосредственно перед экскурсией учащимся было очень кратко сказано о цели экскурсии и ее общем плане, а также о мерах предосторожности на железнодорожном пути.
В начале экскурсии несколько слов было сказано об истории создания Восточно-Сибирской железной дороги.
1. С чего начинается строительство дороги? Сначала составляют план будущей дороги на очень подробной топографической карте. При этом проектировщики стремятся к тому, чтобы путь был по возможности прямолинейным, горизонтальным, без больших спусков и подъемов. Один из первых вопросов, возникающих перед изыскателями при перенесении плана железной дороги на местность, таков: как на земле провести прямую линию? Учащиеся знакомы с провешиванием прямых. Один из них рассказывает, как это делалось в школе. Для более точной установки вех в вертикальном положении применяют прибор теодолит, который используется также для измерения углов. Учащиеся знакомятся с применением теодолита (некоторые сведения о нем были сообщены раньше, еще до экскурсии).
2. Можно ли теперь — после того как на местности был выбран и провешен прямолинейный участок для железной дороги —прокладывать на нем рельсы? Нет, нельзя. Земная поверхность, неровная. На пути встречаются рвы, ямы, бугры, по которым поезд пройти не сможет. Необходимо, чтобы подъемы и спуски были пологими, не превышали определенных пределов. Уклон пути определяется как тангенс угла наклона отрезка пути АС к горизонту (рис. 1). Этот уклон на железных дорогах не должен превышать 0,020, а на магистральных дорогах — даже 0,012.
Для определения величины уклона применяют способ нивелирования. Ученикам был показан прибор нивелир. Они познакомились с его установкой и применением. С помощью нивелира и реек учащиеся определили уклон на данном участке пути (рейки ставятся на головку рельса). Способ нивелирования используют также для определения уклонов при сооружении водоотводных канав, где величина уклона должна быть не менее двух-трех тысячных.
3. На основании результатов, полученных при нивелировании участка трассы будущей железной дороги, можно построить график, который называется продольным профилем железнодорожного пути. Учащимся был показан начерченный профиль участка пути АС (рис. 2). Было указано, что по оси абсцисс откладываются расстояния точек от определенного пункта (в масштабе 1:100 000), а по оси ординат — высоты точек над уровнем моря (в масштабе 1:1000). Сплошная линия обозначает продольный профиль участка железной дороги, пунктирная — продольный профиль того же участка до прокладки железной дороги.
По данному графику ученикам было предложено несколько вопросов, например:
- Какая из трех станций А, В, С расположена ниже?
- На каком расстоянии от станции А, на данном участке железной дороги, поезд проходит через самую высокую точку?
- В каких местах поезд двигается по горизонтальному участку пути?
Профиль пути составляется для того, чтобы знать, где снять грунт, а где насыпать грунт, чтобы выровнять трассу, так как с увеличением уклона увеличивается сопротивление, испытываемое поездом на подъеме. Это сопротивление на горизонтальном участке пути составляет 2 кг на тонну. При уклоне вверх, равном 0,001, это сопротивление увеличивается в 1,5 раза, а при уклоне, равном 0,008, сопротивление в 5 раз больше, чем на горизонтальном участке пути. Отсюда ясно, что большой уклон пути не позволяет повысить вес поезда и скорость его движения.
4. Кроме продольного профиля дороги, вычерчивают еще поперечные профили наиболее характерных участков пути (рис. 3). Продольные и поперечные профили используются при подсчете объема земляных работ, необходимых для прокладки дороги. А это очень важно для определения стоимости строительства дороги. Дело в том, что при строительстве железной дороги на каждый километр пути на равнинной местности приходится в среднем около 10—12 тыс. м3 земляных работ и до 50 тыс. м3 в гористой местности. Стоимость земляных работ даже на равнинной местности в среднем составляет 25%, а в горных районах до 60% всей стоимости строительства железной дороги.
Школьникам были показаны схемы поперечных сечений насыпи выемки, даны разъяснения к чертежу (рис. 3 и 4).
Затем ученики познакомились с «верхним строением пути» то есть с верхней частью железнодорожного полотна: балласт, шпалы, рельсы); провели измерения, необходимые для определения объема шпалы, измерили расстояние между соседними шпалами
5. Перед учениками была поставлена и такая задача: как определить объём балласта на 1 км железнодорожного пути? Способ для определения объёма был предложен школьниками. Площадь поперечного сечения балласта, имеющего форму равнобедренной трапеции, следует умножить на длину участка железнодорожного пути; из полученного объема вычесть объем шпал.
Но как определить площадь поперечного сечения? Ни нижнего основания, ни высоты этой трапеции непосредственно измерить нельзя. Школьникам было сообщено, что угол при основании трапеции всегда выбирается таким, чтобы его тангенс был равен 
. Зная это, ученики сообразили, что для вычисления площади трапеции достаточно измерить верхнее основание и боковую сторону. Вычисления были проведены дома.
6. На шпалы уложены рельсы длиной 25 м. Можно ли рельсы укладывать один за другим вплотную? Нет, нельзя. При повышении температуры металл расширяется и рельсы удлиняются. Поэтому между рельсами оставляют промежутки-зазоры. В то же время желательно, чтобы величина зазора была по возможности меньше для более плавного движения поезда, для уменьшения износа колес и пути. Величина зазора при минимальной температуре для данной местности не должна превышать 21 мм. Так как величина зазора меняется при прохождении большого числа поездов, то ее постоянно проверяют.
Как же проверить величину зазора? Линейку прикладывать неудобно, да и точного результата таким измерением не получишь.
Для определения величины зазора применяется специальный прибор, который называется мерным клином (зазорник). Ученикам был показан этот прибор (рис. 5). Мерный клин вставляется между рельсами не сверху, а сбоку, так как в верхней части между рельсами в результате движения поездов образуются небольшие наплывы металла.
Школьники подметили, что устройство прибора основано на свойстве подобных треугольников (основания пропорциональны боковым сторонам). Два ученика измерили величину нескольких зазоров. Один ученик взялся сам изготовить мерный клин.
7. На железной дороге важно также знать расстояние между рельсами (ширину колеи). Это расстояние должно быть постоянным и равным 1524 мм. на прямолинейном участке пути для нашей дороги. Допускаемые отклонения —2 мм,+ 6 мм. По слишком узкой колее поезд не пройдет; если же колея слишком широкая, поезд сойдет с рельсов. Но при эксплуатации железной дороги путь все время претерпевает изменения. Поэтому время от времени проверяют, какова ширина колеи. Учащиеся измерили ширину колеи, пользуясь рулеткой. Но такой способ неточен; кроме того, он практически непригоден, если нужно проверить изменение ширины колеи на большом участке пути. Здесь на помощь опять приходят математика и техника, Существует специальный путеизмерительный вагон системы Лященко. Двигаясь со скоростью 45 км в час, он записывает графически показания по ширине колеи (в виде зигзагообразной линии). Учащиеся убедились еще раз, как важно уметь читать график, чтобы обнаружить участки на железной дороге, требующие исправления. Приборы, установленные в этом вагоне, одновременно записывают в виде графиков и другие показания, например, на сколько одна «рельсовая нить» расположена выше или ниже другой.
8. После рассмотрения этих вопросов школьники пошли к месту закругления железной дороги. Им рассказали, что не может путь всегда проходить по прямой линии, хотя к этому стремятся при строительстве. Могут встретиться преграды: болота, озера, строения, населенные пункты и др. Приходится изменять направление железной дороги. На поворотах дороги делают закругления. Основной участок закругления имеет форму дуги окружности.
При строительстве железной дороги радиусы закругления задаются заранее. При эксплуатации систематически проверяют состояние этого участка. Важно, чтобы радиус был постоянным, чтобы кривизна пути не менялась.
Как же определить радиус закругления уже построенной железной дороги? Учащиеся ответили на этот вопрос, сославшись на теорему из курса геометрии VIII класса об отрезках диаметра и хорды, проведенных в одной окружности через одну и ту же точку (рис. 6). Измерив хорду АВ и стрелку СО, можно записать:
, если АВ = S и СD = h, то R=
Переход пути с прямолинейного участка на круговой происходит не сразу. Между этими участками устраивают переходный участок. Форма дорогb на этом участке определяется по специальным линиям, которые называют переходными кривымb.
9. Учащиеся определили скорость проходящего поезда, зная время, в течение которого проходил поезд мимо них, длину вагона и число вагонов. Они также выяснили, каким образом можно вычислить скорость поезда днём, если находиться внутринего (по железнодорожным столбам, расставленным через каждый километр пути), и как определить скорость поезда ночью (по стуку колёс на стыках рельсов, учитывая, что длина рельса равна 25 м)
10. Каждый поезд движется строго по расписанию. Проводники, машинисты, пассажиры пользуются расписанием, но железнодорожному диспетчеру нужно следить за движением сразу многих поездов, знать, где они находятся в различные моменты времени. Здесь значительно удобнее пользоваться графиком движения поездов. Школьникам был показан такой график для участка Иркутск — Красноярск. Было указано, что это графики зависимости расстояния, пройденного поездом, от времени, прошедшего с начала суток. На таком чертеже имеются графики движения всех поездов, проходящих по данному участку пути за сутки.
Еще в начале экскурсии одному ученику было предложено заметить время прохождения поездов. Им было записано время прохождения одного товарного и одного пассажирского поезда. Ученики проверили, проходили ли поезда в соответствии с графиком.
На обратном пути школьники зашли посмотреть измерительный вагон системы Лященко. Учащимся было предложено дома произвести вычисления по тем заданиям, которые предлагались во время экскурсии.
Школьники поняли, как широко применяют математику в железнодорожном деле, в том числе и те разделы математики, которые изучаются в школе.
Рисунок 1 – Угол уклона
Рисунок 2 – Продольный профиль железнодорожного пути.
Рисунок 3 – Железнодорожное полотно. Поперечное сечение
Рисунок 4 – Насыпь и выемки. Поперечное сечение
Рисунок 5 – Мерный клин (зазорник)
Рисунок 6 – Закругление дороги