Задания для проведения школьного этапа олимпиады по математике

Школьный этап олимпиады по математике в 5-6-х классах

Задача №1. Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.

Задача №2. В записи трёхзначного числа единиц в два раза меньше, чем десятков, а сотен в два раза больше, чем десятков. Найти это число, если в нём четыре десятка.

Задача №3. Расшифруйте два ребуса, в которых одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам - разные цифры в обоих примерах.

Задача №4. Имеется двое песочных часов: на 3 минуты и 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов.

Задача №5. Трое учеников пошли на рыбалку, взяв с собой лодку, выдерживающую нагрузку до 100 кг. Как перебраться ученикам с берега реки на остров, если их массы равны 40 кг, 50 кг, 70 кг?

Ответы 5-6-й классы

Ответ к задаче №1: 58.
Ответ к задаче №2: 842.
Ответ к задаче №3: А=3; Б=2; В=1; Г=5.
Ответ к задаче №4: Перевернуть обои часы, когда пройдёт три минуты, в семиминутных часах останется 4 минуты. Поставить яйцо в данный момент вариться, когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно. Получим: 4+7=11.
Ответ к задаче № 5: План действий:

• сначала переправляются два лёгких;
• один из них перегоняет лодку обратно;
• самый тяжёлый садится в лодку и переплывает один;
• второй лёгкий садится в лодку и перегоняет её обратно;
• двое лёгких садятся в лодку и переправляются на остров.

1. Найти как можно больше разных трёхзначных чисел, не содержащих в записи цифры 9, таких, что при увеличении каждой их цифры на 1 произведение всех цифр числа увеличивается ровно вдвое и ни одно из этих чисел не получается из другого перестановкой цифр.

2. Машина движется со скоростью 80 км/час. С какой скоростью ей надо двигаться, чтобы 1 км проезжать на 15 секунд быстрее?

3. Сколько различных трёхзначных чисел, делящихся на 6, и не содержащих одинаковых цифр, можно составить из цифр 0, 4, 5, 6?

4. Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на 4 треугольника и 3 четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см, сумма периметров четырёх треугольников равна 20 см, периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин трёх жирных отрезков. Ответ обосновать.

5. Вдоль дороги длиной 60 км стоит несколько (больше одного) пеньков. Первый турист идёт по дороге со скоростью 5 км в час, у каждого пенька он останавливается и отдыхает одно и то же целое число часов. Второй турист едет по той же дороге на велосипеде со скоростью 12 км в час и отдыхает у каждого пенька в два раза дольше первого туриста. Вышли и пришли туристы одновременно. Сколько пеньков у дороги? Ответ обосновать.

7.1. Ответ. Всего есть три различных с точностью до перестановки цифр ответа: 345, 267, 338.

7.2. Ответ. 120 км/ч Решение. 1 км машина проезжает за 3/4 минуты, а должна проезжать за 1/2 минуты, следовательно, её скорость должна быть 120 км/ч.

7.3. Ответ. Семь, это числа: 456, 546, 504, 540, 450, 564, 654. Решение. Числа должны делиться на 2 и сумма их цифр должна делиться на 3. Если трехзначное число содержит цифру 6, то в числе не может присутствовать цифра 0, иначе сумма цифр не будет делиться на 3. Кроме того, все числа будут четными и должны оканчиваться на четную цифру.

7.4. Ответ. 13. Решение. Сумма длин периметров всех треугольников и всех четырехугольников равна удвоенной сумме длин трех жирных отрезков плюс периметр большого треугольника. Поэтому сумма длин жирных отрезков равна половине разности суммы периметров всех треугольников и четырехугольников и периметра большого треугольника, т.е. (25+20-19)/2=13.

7.5. Ответ. 7. Решение. Первый турист двигался 60/5 = 12 часов, второй 60/12=5 часов, следовательно, второй турист отдыхал на 7 часов дольше первого. По условию, это равно общему времени отдыха первого туриста, равному произведению числа пеньков на время отдыха на каждом из них. Ввиду простоты числа 7 и того, что число пеньков больше одного, получаем ответ – 7 пеньков.

1. Есть десять карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая — чёрная. Все они лежат на столе белой стороной вверх. Коля перевернул 5 карточек, затем Оля перевернула 6 карточек, после чего Миша перевернул 7 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Как это могло получиться?

2. Вычислить число , если

3. Найти площадь заштрихованной фигуры внутри квадрата на рисунке. Сторона квадрата равна 4a.

4. Во время перемирия за круглым столом разместились рыцари из двух враждующих кланов, причём оказалось, что число рыцарей, справа от которых сидит друг, равно числу рыцарей, справа от которых сидит враг. Доказать, что общее число рыцарей делится на 4.

5. В правильном треугольнике ABC со стороной а точки M, N, P, Q  расположены так, что MA + AN = PC + CQ = a. Найти величину угла NOQ, где О – точка пересечения NP и MQ.

8.1. В конце этих манипуляций все карточки лежат черной стороной вверх, поэтому каждая из них была перевернута 1 или 3 раза. Общее число переворотов равно 5+6+7=18, карточек 10, поэтому число вторых и третьих переворотов равно 8, значит, ровно 4 карточки были перевернуты трижды. Таким образом, Коля перевернул карточки с первой по пятую, Оля – с первой по четвертую, шестую и седьмую, Миша – с первой по четвертую и с восьмой по десятую.

8.4. Общее число рыцарей равно общему числу пар соседних рыцарей, сидящих за столом. Пары бывают дружественными, когда рядом сидят рыцари из одного из одного клана, и недружественными, когда рядом сидят рыцари из разных кланов. По условию, количества дружественных и недружественных пар равны, значит, общее число пар равно удвоенному числу недружественных пар. Далее, проходя по кругу, мы видим, что каждая недружественная пара соответствует переходу от одного клана к другому. Поскольку, замкнув круг, мы совершим четное число таких переходов, получаем, что число недружественных пар делится на два, а число всех пар – на четыре.

8.5. Ответ. 60°.

1. Есть десять карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая — чёрная. Все они лежат на столе белой стороной вверх. Коля перевернул 5 карточек, затем Оля перевернула 6 карточек, после чего Миша перевернул 7 карточек. В результате все карточки оказались повёрнуты чёрной стороной вверх. Как это могло получиться?

2. Антикварный магазин, купив два предмета на общую сумму 360 рублей, продал их, получив 25% прибыли. За сколько был продан каждый предмет, если на первый была наценка 50%, а на второй – 12,5%?

3. Построить равнобедренный треугольник по данному периметру и высоте, опущенной на основание.

4. На учредительном собрании партии “Верный путь” 141 участник из 29 регионов второй день пытаются рассесться за круглым столом так, чтобы среди любых 35 подряд сидящих участников были представители всех регионов. Удастся ли этим достойным людям исполнить задуманное?

5. Найти третью сторону треугольника, если даны две стороны а и b и известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

9.1. Ответ. В конце этих манипуляций все карточки лежат чёрной стороной вверх, поэтому каждая из них была перевёрнута один или три раза. Общее число переворотов равно 5+6+7=18, карточек 10, поэтому число вторых и третьих переворотов равно 8, значит, ровно 4 карточки были перевёрнуты трижды. Таким образом, Коля перевернул карточки с 1 по 5, Оля – с 1 по 4,6 и 7, Миша – с 1 по 4 и с 8 по 10.

9.2. Ответ. Первый был продан за 180 рублей, второй – за 270.

9.3. Ответ. Полупериметр искомого треугольника равен сумме боковой стороны и половине основания. Если в искомом треугольнике провести высоту к основанию( лежащему на произвольной прямой), то для построения достаточно построить прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы. Строим прямой угол, вершину которого обозначим за Е, на одной стороне откладываем данную высоту ЕА, на другой – полупериметр НМ. Соединяем концы построенных отрезков А и М. К середине отрезка АМ проводим перпендикуляр, который пересечёт отрезок ЕМ в точке В. Продолжив отрезок ВЕ за точку Е до точки С, так, что ВЕ=СЕ, получим искомый треугольник.

9.4. Ответ. Не удастся.

Предположим, они расселись требуемым в условии образом. Всего участников141, а регионов 29, поэтому есть регион Н, представленный на этом форуме не более, чем четырьмя участниками. Делегатов от других регионов не менее 137, поэтому между некоторыми из четырёх участников из Н сидят не менее 137/4=36,25, то есть не менее 37 человек, среди которых не будет участников из Н – противоречие.

9.5. Ответ. c =

Обозначим длины медиан, проведённых к сторонам a и b за m_a и m_b соответственно, а длину третьей стороны за c.