Решение задач по темам "Расстояние от точки до плоскости в пространстве" и "Расстояние от точки до прямой в пространстве"

Разделы: Математика

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Расстояние от точки до плоскости в пространстве – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Алгоритм нахождения расстояния от точки до плоскости:

  1. Через точку проводим плоскость перпендикулярную данной плоскости. Для этого, на данной плоскости выбираем прямую. К этой прямой проводим две перпендикулярные прямые, образующие плоскость, проходящую через данную точку. Построенная плоскость и данная перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей.
  2. В этой плоскости из данной точки опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей.
  3. Длина перпендикуляра является искомым расстоянием от точки до плоскости.
1.

В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние от точки B до плоскости .

На данной плоскости выбираем прямую , перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые АС и АВ. Прямые АС , АВ и данная точка В лежат в одной плоскости . Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки В опускаем перпендикуляр ВО на линию пересечения этих плоскостей – АС. ВО -искомое расстояние.

Ответ: ВО=1.

2.

В кубе , ребра которого равны , найдите расстояние от точки B до плоскости .

На данной плоскости выбираем прямую CD, перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые и. Прямые, и точка В лежат в плоскости . Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки В опускаем перпендикуляр ВО на линию пересечения этих плоскостей – . ВО – искомое расстояние.

Ответ: ВО=1.

3.

В единичном кубе найдите расстояние от точки В до плоскости .

На данной плоскости выбираем прямую АС , перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые и . Прямые , и точка B лежат в одной плоскости . Плоскости иперпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки В опускаем перпендикуляр ВК на линию пересечения этих плоскостей – . ВК – искомое расстояние.

Ответ: .

4.

В единичном кубе найти расстояние от точки В до.

На данной плоскостивыбираем прямую АС, перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые ВD и D1O. Прямые BD, D1O и точка B лежат в одной плоскости . Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей () . Из точки B опускаем перпендикуляр ВК на линию пересечения этих плоскостей – . ВК – искомое расстояние.

:;

.

Ответ:.

5.

В единичном кубе найти расстояние от точки В до плоскости.

На данной плоскостивыбираем прямую , перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямыеи . Прямые , и точка В лежат в одной плоскости . Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки В опускаем перпендикуляр ВК на линию пересечения этих плоскостей – . Длина ВК – это искомое расстояние.

:

Ответ: .
6.

В единичном кубе найти расстояние от точки В до плоскости.

Это тот случай, когда нужно сместить точку В по прямой DB параллельной (по признаку параллельности прямой и плоскости. BD параллельно ). На данной плоскости выбираем прямую ,перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые и. Прямые ,и точка О лежат в одной плоскости. Плоскости и перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки О опускаем перпендикуляр ОК на линию пересечения этих плоскостей – . Длина ОК и есть искомое расстояние.

Ответ: .

7.

В единичном тетраэдре DABC найдите расстояние от точки C до плоскости ADB.

Проведем плоскость, проходящую через данную точку С и перпендикулярную плоскости ADB . Для этого в плоскоcти ADB выберем прямую АВ и к ней проведем две перпендикулярные прямые, образующие плоскость проходящую через точку С и перпендикулярную плоскости ADB по признаку перпендикулярности плоскостей. Одна прямая СК – высота треугольника АВС, вторая – DК, перпендикулярная АВ по теореме о трех перпендикулярах. В треугольнике DКС опустим перпендикуляр СТ на линию пересечения этих плоскостей DК . Длина СТ искомое расстояние.

Ответ:

8.

В единичном тетраэдре DABC точка Е-середина DC. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВЕ.

Треугольники ADC и BDC равносторонние, поэтому высоты этих треугольников AЕ и BЕ, опущенные на общую сторону DC имеют общее основание Е. DE перпендикулярна AЕ и BЕ, поэтому DE перпендикулярна плоскости ABE по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. DE является расстоянием от точки D до плоскости ABE.

Ответ: DE =0,5.
9.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равнынайдите расстояние от точки B до плоскости SDC.

Для определения искомого расстояния нужно через точку В провести плоскость перпендикулярную плоскости SDC. В данной задаче удобнее определить искомое расстояние от точки К, лежащей на прямой АВ параллельной плоскости SDC и являющейся серединой ребра АВ. Через точку К проводим плоскость перпендикулярную плоскости SDC . Для этого проведем прямую КМ перпендикулярную DC и прямую SM перпендикулярную DM . SM перпендикулярна DM по теореме о трех перпендикулярах. Получили плоскость KSM перпендикулярную плоскости SDC . Из точки К опускаем перпендикуляр КТ на линию пересечения плоскостей SM. Длина КТ есть искомое расстояние.

Ответ:

10.

В правильной четырехугольной пирамиде найти расстояние от точки D до плоскости SKM, где К и М – середины ребер АВ и ВС соответственно.

Необходимо через точку D провести плоскость перпендикулярную данной SKM. Для этого на плоскости KMS выбираем прямую КМ, перпендикулярно которой проводим две пересекающиеся прямые BD и SN. Прямые BD, SN и данная точка D лежат в одной плоскости SND. Плоскость SND перпендикулярна данной SKM по признаку перпендикулярности плоскостей (). Из точки А в плоскости SND опускаем перпендикуляр DP на линию пересечения плоскостей SN. Длина DP – искомое расстояние.

Ответ:
11.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка К – середина ребра SA. Найти расстояние от точки C до плоскости KDB.

Необходимо провести плоскость перпендикулярную DKB и проходящую через точку С. Для этого на плоскости DKB выбираем прямую DB и перпендикулярно ей проводим две пересекающиеся прямые АС и КО. следовательно. Из точки С опускаем перпендикуляр CN на линию пересечения плоскостей DBK и SCA KO. Длина CN – искомое расстояние.

Ответ:

Решение задач по теме "Расстояние от точки до прямой в пространстве" читайте здесь