В рамках данной статьи рассмотрено одно из занятий элективного курса по математике «Наглядная геометрия» для учащихся 6 класса. Занятие сопровождается показом презентации (Приложение).
Эта тема будет также интересна учащимся 10-11 классов в рамках подготовки к ЕГЭ. Формулу Пика можно применять при вычислении площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге (это задание В3 в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ).
Ход урока
Учитель: Размышления над какой-то задачей часто приводят к увлечению математикой. А есть ли задачи, которые не похожи на задачи из школьных учебников? Да, это задачи на клетчатой бумаге. Такие задачи есть в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. В чём же заключается особенность таких задач, какие методы и приёмы используются для решения задач на клетчатой бумаге? На этом занятии мы исследуем задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры, и научимся вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.
Учитель: Объектом исследования будут задачи на клетчатой бумаге.
Предметом нашего исследования будут задачи на вычисление площади многоугольников на клетчатой бумаге.
И целью исследования будет формула Пика. Это удобная формула, с помощью которой можно вычислить площадь любого многоугольника без самопересечений с вершинами в узлах клетчатой бумаги.
Учитель: Сформулируем гипотезу: площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии.
При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые сведения, которые нам известны:
- Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения сторон, образующих прямой угол.
Учитель: Кто же такой Пик? Пик Георг Александров (1859-1943 гг.) – австрийский математик. Открыл формулу в 1899 году.
Формула Пика: S = B +
– 1, где S – площадь многоугольника, с вершинами в узлах квадратной сетки; Г –
количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника (на сторонах и в
вершинах), В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника.
Учитель: Узлы сетки – точки, в которых пересекаются линии сетки.
Внутренние узлы многоугольника – красные. Узлы на границах многоугольника – зелёные.
Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги (Приложение).
Учитель: Проведём исследования для треугольника. Сначала посчитаем площадь треугольника по формуле Пика (Приложение).
Учитель: Теперь посчитаем площадь треугольника по формулам геометрии. Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, проходящим через вершины нарисованного треугольника. Учащиеся выполняют вычисления в тетрадях. Затем проверяют свои результаты с вычислениями на слайде (Приложение).
Учитель: Давайте повторим исследование для 4-угольника (Приложение).
Учитель: А теперь повторим исследование для 5-угольника (Приложение).
Учитель: А теперь рассмотрим многоугольник в форме ракеты. Получаем, что формула Пика будет справедлива и для произвольного многоугольника (Приложение).
Учитель: Сравнив результаты исследований, сделайте вывод. Получили, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии. Итак, гипотеза оказалась верной.
Далее учитель предлагает вычислить площадь «своего» произвольного многоугольника по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнить полученные результаты. «Поиграть» с формулой Пика можно на сайте математических этюдов (http://www.etudes.ru).
В заключение статьи предлагается одна из работ по теме «Вычисление площади произвольного многоугольника с помощью формулы Пика» (Приложение).