Урок алгебры: "Теорема Виета" (учебник Ю.М. Макарычева и др. "Алгебра. 8-й класс)

Цели урока:

• обучающие: раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням; рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета.
• развивающие: способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты, формулировать выводы;  развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений;
• воспитательные: научить преодолевать трудности, настраиваться на успех, формировать навыки сотрудничества.

Оборудование: мобильный кабинет информатики (12 ноутбуков).

Ход урока

1. Сообщение темы и цели урока.

2. Проверка домашнего задания: № 568, 574 - два ученика у доски записывают составленные уравнения по условию задач и объясняют их происхождение.

3. Актуализация опорных знаний:

на доске записаны квадратные уравнения:

1. х² – 13х + 12 = 0;
2. 9 – 2х² – 3х = 0;
3. х² + 8х + 7 = 0;
4. 3х² – 2х = 4;
5. 6х² – 2 = 6х;
6. х² = - 9х – 20.

Ответьте на следующие вопросы.

1. Назовите номер уравнения записанного в стандартном виде (1;3)
2. Назовите номер уравнения, не приведенного к виду ax²+ bx+ c= 0 (2,4,5,6)
3. Назовите номер уравнения, в котором коэффициент b – четное число (3,4,5)
4. Назовите номер уравнения, в котором коэффициент b – нечетное число (1,2,6)
5. Назовите номер уравнения, у которого коэффициент а = 1 (1,3,6)
6. Как называется квадратное уравнение, у которого коэффициент  а = 1. (приведенное)

4. Изучение нового материала.

Заполните таблицу, для этого в первой колонке выпишите приведенные квадратные уравнения, затем найдите сумму и произведение их корней, а результат запишите соответственно во вторую и третью колонки.

1) х² – 13х + 12 = 0, D = 169 – 48 = 121,

х ₁ + х ₂ = 13,

х ₁ х ₂ = 12.

2) х² + 8х + 7 = 0, D = 64 - 28 = 36,

х ₁ + х ₂ = -8,

х ₁ х ₂ = 7.

3) х² + 9х + 20 = 0, D = 81 - 80 = 1,

х ₁ + х ₂ = - 9,

х ₁ х ₂ = 20.

Слова учителя:

Посмотрите внимательно в таблицу и постарайтесь увидеть зависимость коэффициентов уравнения от суммы и произведение корней. Сумма корней уравнения равна числу, противоположному второму коэффициенту b, произведение корней равно свободному члену с. Итак мы сформулировали теорему Виета. Запишите ее формулировку.

Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Мы с вами теорему не доказали, а только увидели закономерность на примерах. А теперь попробуем доказать теорему Виета при совместном исследовании.

Дано: ax²+bx+c=0, где а=1, х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения.

Доказать:

Доказательство. Уравнение ax²+bx+c=0 имеет два корня х₁ и х₂, D > 0 и D = b² – 4c. По формуле корней квадратного уравнения

Найдем сумму корней квадратного уравнения

=

=

Теорема доказана.

№ 580 (устно) – 1 ряд по цепочке.

Вопрос: Между чем устанавливает зависимость теорема Виета?

(зависимость значений коэффициентов от корней квадратного уравнения).

Слова учителя:

Решая следующую задачу, постарайтесь увидеть другие закономерности.

Задача: Пары чисел являются решением квадратного уравнения. Определите знаки b и c.

Запись на доске:

4; 5 (b<0, c>0)

4; -5 (b>0, c<0)

-4; 5 (b<0, c<0)

-5;-4 (b>0, c>0)

Ответьте на следующие вопросы:

• В каком случае c>0? (корни одного знака)
• В каком случае c<0? (корни имеют разные знаки)
• В каком случае b<0? (корни положительные или корни имеют разные знаки)
• В каком случае b>0? (корни отрицательные или корни имеют разные знаки)
• Почему в случае, когда корни разных знаков, b может быть больше нуля и может быть меньше нуля? (все зависит от знака числа, у которого модуль больше)

5. Закрепление изученного материала.

Решение задач с краткой записью в тетради.

Определите знаки корней уравнения:

а) х² – 22х + 120 = 0; (х₁х₂=120, значит знаки корней одинаковые; х₁+х₂=22, значит оба корня положительные)

б) х² + 15х +56 = 0 (х₁х₂=56, значит знаки корней одинаковые; х₁+х₂=-15, значит оба корня отрицательные)

Пользуясь теоремой Виета составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

а) 5 и -2 (х² – 3х – 10 = 0)

б) -4 и 1 (х² + 3х – 4 = 0)

в) 4 и -1 (х² – 3х – 4 = 0)

Работа в парах с использованием ЭОР “Составление квадратных уравнений по его корням” - 10 мин.

6. Подведение итогов: выставление оценок учащимся.

7. Домашнее задание: п.24, № 585, 594.

Приложение к плану-конспекту урока

№	Название ресурса	Тип, вид ресурса	Гиперссылка на ресурс, обеспечивающий доступ к ЭОР
1	“Составление квадратных уравнений по его корням”	контроль	http://school-collection.edu.ru/catalog/res/cef4e4c0-ea38-4dbc-904f-d82e924c8049/ ?from=253f44a5-bb2a-4221-ae16-5b990bb69526&