Урок геометрии по теме "Теорема Пифагора". 8-й класс

«Уважение к Пифагору доходило до поклонения»
А.И. Герцен

Цели урока:

• Образовательная: закрепление пройденного материала, умения применять теорему Пифагора при решении задач;
• Развивающая: развивать логическое мышление, пространственное воображение, познавательный интерес учащихся;
• Воспитательная: воспитывать у учащихся интерес к предмету, навык самостоятельности в работе, учить трудолюбию, аккуратности.

Оборудование урока: плакат с чертежами к устным задачам, модель пирамиды, индивидуальные карточки с готовыми чертежами (на 3 варианта).

Ход урока

I. Организационный момент.

Теорема Пифагора – это одна из главных теорем геометрии. Значение ее состоит прежде всего в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Сообщения учащихся.

В настоящее время все согласны с тем, что теорема Пифагора не была открыта Пифагором. Она была известна еще до него. Её знали в Китае, Вавилоне, Египте. Вернее не её, а частные случаи. Однако полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство. И не найти, пожалуй, другой теоремы, заслуживающей столько всевозможных сравнений. Во Франции, в некоторых областях Германии, в средневековье теорему Пифагора называли «мостом ослов», «ослиный мост» или «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть, без понимания, прозванные поэтому «ослами», не были в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непроходимого моста.

У математиков арабского Востока эта теорема получила название «теорема невесты». Дело в том, что в некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема называлась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой, что по-гречески называлась «нимфа». Но этим словом греки называли еще некоторых богинь, а также вообще молодых женщин и невест. При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово «нимфа» как «невеста», а не «бабочка». Так появилось ласковое название знаменитой теоремы – «теорема невесты».

II. Актуализация опорных знаний.

1. Укажите, на каком из рисунков есть треугольники, к которым применима теорема Пифагора:

Рисунок 1

2. Имеются модели трех квадратов. Не пользуясь никакими инструментами, докажите, что площадь одного из них равна сумме площадей других.

Рисунок 2

Решение.

Меньшие квадраты прикладываются так, чтобы угол между их сторонами составил 90°. К этим квадратам прикладывается больший квадрат. Тогда a²+b²=c², что и требовалось доказать. (Разумеется, стороны квадратов должны быть подобраны соответствующим образом. Например, можно вырезать модели квадратов со сторонами 6 см, 8 см, 10 см.)

Рисунок 3

3. Представьте прямоугольную систему координат.

Имеется точка А (3;4). Проведите мысленно окружность с центром в точке О и радиусом ОА. Чему равен радиус этой окружности? Назовите координаты еще нескольких точек, лежащих на этой окружности.

Ответ: ОА=5, В(-2;4), С(3;8), Д(8;4), Е(3;-1).

III. Отработка вычислительных навыков.

Пирамида – это многогранник, который состоит из плоского многоугольника (основания пирамиды) и точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань пирамиды – треугольник.

Задача 1.

Все углы граней пирамиды РАВС при вершине В прямые. Ребро РВ равно 4, каждое из ребер АР и РС равно 5. Докажите, что прямоугольный треугольник АВС равнобедренный.

Рисунок 4

Доказательство.

I способ:

Δ ABP – прямоугольный. По теореме Пифагора

АР²= АВ²+ ВР²

Отсюда АВ= √(АР²-ВР²)= √(5²-4²)= √9=3

Аналогично ВС= √(СР²-ВР²) = √(5²- 4²)=√9=3

АВ=ВС=3. Следовательно, ΔАВС – равнобедренный.

II способ:

АР и РС – наклонные, АВ и СВ – их проекции соответственно. Равные наклонные имеют равные проекции. Значит, AB=CB, ΔАВС равнобедренный.

Примечание.

Опыт показывает, что несложные задачи с «выходом в пространство» дают большие возможности для творчества учащихся. Такие задачи решаются более свободно, т.к. все понимают, что материал дается на «вырост», он не обязателен для быстрого усвоения. Может быть, эта необязательность и приковывает внимание учеников, ведь для каждого из них дело чести справиться с такой задачей.

Задача 2.

В Древней Индии было известно, что квадрат, построенный на диагонали данного квадрата, имеет площадь в два раза большую, чем данный квадрат. Как в этом убедиться?

Задача 2 была предложена для решения учащимися за неделю до данного урока с тем, чтобы учащиеся смогли найти несколько способов ее решения. На этом уроке класс оценивает, кто дал более оригинальное, интересное решение.

Рисунок 5

Дано:

ALKC – квадрат,

ABCD – квадрат.

Доказать: S_KCAL = 2S_ABCD

Доказательство.

I способ:

AC=c; АВ=ВС=а; S_ABCD = a²;S_ALKC= c²

ΔABC – прямоугольный и, значит, по теореме Пифагора

c²=a² +a² ;с²= 2а². Следовательно,

S_ALKC= 2S_ABCD.

II способ.

В квадрате ALKC содержится четыре треугольника АВС, а в квадрате АВСD их два. Отсюда – требуемый результат.

III способ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. На его гипотенузе AC построен квадрат ALKC, на катете CD – квадрат ABCD, на катете AD- квадрат ABCD. Применяем теорему Пифагора и требуемое равенство доказано.

IV способ.

Треугольник CAL состоит из двух треугольников ABC и ABL, которые равны между собой.

S_CAL =

S_ALKC= 2S_CAL=2a², S_ALKC=c²

Значит, с² = 2а², то есть S_ALKC= 2S_ABCD.

III. Проверочная работа.

Учащиеся получают карточки с задачами (три варианта заданий – Приложение). Необходимо решить 5 задач и выбрать к каждой задаче верный ответ из предложенных четырех вариантов ответ. Верный вариант ответа отмечается «х» в шахматке, которая сдается учителю. 

IV. Итог урока.

Литература:

1. А.П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
2. А.А. Окунев. Спасибо за урок, дети! – М.: Просвещение, 1988.
3. С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах. – М.: Просвещение, 1987.
4. М.Ю. Шуба. Занимательные задания в обучении математике. – М.: Просвещение, 1995.