Урок алгебры по теме "Решение систем уравнений второй степени". 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Тема: Решение систем уравнений второй степени.

Цель урока: Обеспечить усвоение применения метода подстановки при решении систем уравнений второй степени.

Задачи:

Образовательные:

  • Повторить алгоритм использования метода подстановки при решении двух уравнений с двумя неизвестными.
  • Научить применять метод подстановки при решении систем уравнений второй степени.
  • Формировать умения и навыки рационального применения различных методов при решении систем уравнений.

Развивающие: Развитие творчества и инициативы, умений организовать индивидуальную и самостоятельную работу в группах, проводить самоконтроль.

Воспитательные: Воспитание чувства ответственности, самостоятельности, познавательного интереса к изучаемому предмету.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Формы: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Специальные учебные действия: решать системы двух уравнений с двумя переменными, указанные в содержании.

Ход урока

I. Оргмомент.

II. Актуализация знаний. (Используется приём «Корзина» – это приём организации индивидуальной и групповой работы на начальной стадии урока, когда идёт актуализация имеющегося у них опыта и знаний. Он позволяет выяснить всё, что знают или думают ученики по обсуждаемой теме.) Задания записаны на карточках, учащиеся работают в парах.

1. Выразить одну переменную через другую из уравнения

а) x-y=56, б) 4x-y=8, в) 5y-6x2=42.

2. – Как вы понимаете выражение «Системы уравнений»?

– Что значит решить систему уравнений?

– Что является решением системы уравнений?

– Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

– Что значит решить систему уравнений графически?

– Что значит решить систему уравнений способом подстановки?

– Что значит решить систему уравнений способом сложения?

– Сформулируйте тему урока. Чему вы должны сегодня научиться?

(Решение систем уравнений второй степени. Мы должны научиться применять метод подстановки при решении систем второй степени).

III. Работа над новым материалом.

– Рассмотрим аналитическое решение системы уравнений с двумя переменными второй степени. Наиболее распространенным способом решения систем уравнений второй степени является способ подстановки. Для этого необходимо:

1) выразить из более простого уравнения одну переменную через другую;

2) подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной неизвестной;

3) решить полученное уравнение с одной переменной;

4) найти соответствующее значение второй переменной.

Пример 1. Решить систему уравнений:

фигурная скобка

3y2-2x2+xy+5x+y=8,

2x-y=3

Выразим из второго уравнения переменную y через переменную x:y=2x-3.Подставим это выражение в первое уравнение и получим уравнение с одной переменной x: 3(2x-3)2-2x2+x(2x-3)+5x+(2x-3)=8, решим его.

3(4x2-12x+9)-2x2+2x2-3x+5x+2x-3=8

12x2-36x+27-2x2+2x2-3x+5x+2x-3-8=0

12x2-32x+16=0 (разделим на 4)

3x2-8x+4=0

D=16-12=4.   x1 = (4+2)/3 = 2; x2 = (4-2)/3 =2/3.

фигурная скобка

x1=2

x2=2/3

y1=2·2-3=1

y2=2·(-3)= -5/3

Ответ: (2;1); (2/3;-5/3).

Бывает, что система уравнений состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, тогда найти её решение обычно трудно. В отдельных случаях такие системы удаётся решить, используя способ подстановки или способ сложения.

Пример 2. Решить систему уравнений:

фигурная скобка

x2-y2=5,

xy=6.

Воспользовавшись тем, что x ≠0, выразим из второго уравнения переменную y через x: y = 6/x. Подставим в первое уравнение вместо y данное выражение, получим уравнение: x2 - (6/x)2 = 5.

Решим его:  x4 -5x2-36 = 0. Пусть x2= t, получим уравнение t2-5t-36 = 0 

D=25+144=169. t1 = (5-13)/2 = -4; t2 = (5+13)/2 =9.

x2= -4 нет решений.

x2=9   

фигурная скобка

x1= -3

x2=3

y1=-2

y2= 2

Ответ: (-3;-2); (3;2).

IV. Проверка понимания.

– Как решить систему уравнений второй степени? Назовите алгоритм работы над решением  системы уравнений методом подстановки.

V. Закрепление.

1) №429(а, б) у доски и в тетрадях.

2) №430 (а, б) с комментированием с места.(Работа в парах)

3) Обучающая самостоятельная работа

1 вариант – №431(а),

2 вариант – №431(б).

Проверьте с решением с доски.

VI. Итог урока.

Соединить линиями соответствующие части алгоритма:

Решить систему способом подстановки

 

Решают получившееся уравнение с одной переменной

 

Находят соответствующее значение второй переменной

 

Выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую

 

Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени и получают уравнение с одной переменной

VII. Задание на дом: п.19. № 429 (в, г),  №430 (в, г), №431 (в, г).