Цели:
1. Расширить знания и умения учащихся при решении показательных уравнений, рассмотреть различные способы и приемы их решения, систематизировать знания и умения.
2. Развивать математическое мышление учащихся, сознательное восприятие учебного материала, грамотную математическую речь.
3. Продолжить развитие культуры общения на уроках, совершенствовать самоконтроль, самоанализ, взаимоконтроль.
Тип урока: комбинированный (закрепление изученного и обсуждение новых приемов решения).
Оборудование: проектор, экран, компьютер.
Ход урока
1. Организационный момент (1 минута).
2. Математический диктант (5–8 минут, текст на доске или на экране).
Решить уравнения.
Учащиеся сверяют свои ответы с ответами на экране и оценивают результат в баллах по количеству правильных ответов.
Вопрос учителя:
Каков общий принцип решения показательных уравнений?
Ответ учащихся: исходное уравнение приводится к виду, выражающему равенство двух одинаковых оснований в некоторых степенях, а затем можно приравнять друг другу показатели степени: af(x)=ag(x) <=> f (x)=g(x).
3. Учащимся предлагается обсудить и найти путь решения следующих уравнений, обозначенных на экране, с последующими устными комментариями (10 минут).
Комментарии:
– Первое уравнение решается путем введения новой переменной и сводится к
квадратному.
– Второе уравнение решается с помощью разложения на множители способом
группировки слагаемых.
– Третье уравнение является однородным относительно степеней 2х и
3x. После деления обеих
частей на 22х или 32х и введения новой переменной
получается квадратное уравнение.
Учащиеся сверяют ответы и оценивают свою работу. Каждое верно выполненное уравнение оценивается в 2 балла.
4. Рассматривается следующая группа уравнений (20 минут).
Данное уравнение предлагается обсудить в парах и подумать над вопросом: чем отличается это уравнение от предыдущих?
Ответ. Ограниченная область определения: x≤2,
в предыдущих уравнениях
x-любое действительное число.
Алгоритм решения уравнения:
1. ОДЗ.
2. Перенести все члены уравнения в левую часть.
3. Сгруппировать члены с одинаковыми коэффициентами.
4. Применить условие равенства нулю произведения.
5. Решить уравнения и отобрать корни с учетом ОДЗ.
Ответ 1го уравнения: ±1.
II.
Показательно-тригонометрическое:
Данное уравнение предлагается обсудить в парах и составить алгоритм решения.
Алгоритм решения уравнения:
1. Ввести новую переменную
2. Перейти к квадратному уравнению (у2 – 6у + 8 = 0).
3. Вернуться к показательным уравнениям
4. Перейти к тригонометрическим уравнениям (cos
x = ±1).
Ответ 2го уравнения: πn, n – целое число.
III. Показательно-степенное:
Схема решения: (устанавливается путем фронтального обсуждения).
1. Из равенства показателей следует x2 – x – 4 = 2
x1= 2,
x2 = 3 – оба корня удовлетворяют
уравнению.
2. Если основание равно 1, то: x – 1 = 1, x3 = 2 – удовлетворяет уравнению.
3. Если основание равно 0, то x – 1 = 0, x4 = 1 – не удовлетворяет уравнению.
4. Если основание равно -1, то x – 1= -1, x5 = 0 – удовлетворяет уравнению.
Ответ 3-го уравнения: ±2, 0, 3.
IV. Уравнение, решаемое искусственным приемом (использование монотонности):
3х + 4х = 5х
5х > 0 при любом х, следовательно (3/5)х + (4/5)х = 1
Функция f(x) = (3/5)х + (4/5)х как сумма двух убывающих функций является убывающей, а значит, каждое свое значение она принимает только один раз. Ответ: 2
V. Уравнения, содержащие параметр.
1) При каких значениях параметра а уравнение имеет решение:
4х – а*2х+1 + 2а = 0 ?
Вопрос: – Что представляет собой уравнение?
Ответ: Показательное уравнение, сводящееся к квадратному после введения новой переменной.
Вопрос: – Когда квадратное уравнение имеет решение?
Ответ: Если дискриминант неотрицательный.
Ответ: (– ∞; 0) U [ 2; + ∞).
2) При каких значениях параметра а уравнение и имеет решений:
4х + (а2 + 5) 2х + 9 – а2 = 0 ?
(задаются аналогичные вопросы)
Ответ: [-3 ; 3]
Учащиеся оценивают свою работу на этом этапе, каждое уравнение – 3 балла.
В конце урока учащиеся оценивают свою работу за весь урок:
8–14 баллов – оценка 3,
15–23 баллов – оценка 4,
24– 32 балла – оценка 5.
5. Итог урока (5 минут).
Какие типы уравнений и приемы их решений рассмотрены на уроке?
– Сводящиеся к квадратным путем введения новой переменной.
– Уравнения, решаемые путем разложения на множители.
– Однородные показательные уравнения.
– Показательно-тригонометрические уравнения.
– Показательно степенное уравнение.
– Уравнение с использованием монотонности функции.
– Уравнения с параметром.
Домашнее задание.
Обязательное.
Используя сборники задач, подобрать и решить 5 показательных уравнений различных типов (рассмотренных на уроке). Рекомендуемая литература: дидактические материалы, сборник задач под редакцией М.И. Сканави, учебник Алгебра и начала анализа 10-11 класс под редакцией А.Н. Колмогорова (стр 299, п. 14).
Дополнительное.
Решить уравнение:
