Цель: знать, понимать и уметь применять признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Задачи:
- повторить определения перпендикулярности прямых, прямой и плоскости.
- повторить утверждения о перпендикулярности параллельных прямых.
- ознакомить с признаком перпендикулярности прямой и плоскости.
- понимать необходимость применения признака перпендикулярности прямой и плоскости.
- уметь находить данные позволяющие применять признак перпендикулярности прямой и плоскости.
- тренировать внимательность, аккуратность, логическое мышление, пространственное воображение.
- воспитывать чувство ответственности.
Оборудование: компьютер, проектор, экран.
План урока
1. Организационный момент. (сообщить тему, мотивация, сформулировать цель урока)
2. Повторение ранее изученного материала и теорем (актуализация прежних знаний учащихся: формулировки определений и теорем с последующим пояснением или применением на готовом чертеже).
3. Изучение нового материала как усвоение нового знания (формулировка, доказательство).
4. Первичное закрепление (фронтальная работа, самоконтроль).
5. Повторный контроль (работа с последующей взаимопроверкой).
6. Рефлексия.
7. Домашнее задание.
8. Подведение итогов.
Ход урока
1. Организационный момент
Cообщить тему урока (слайд 1): Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Мотивация: на прошлом уроке мы дали определение прямой, перпендикулярной плоскости, но применять его не всегда удобно (слайд 2).
Формулирование цели: знать, понимать и уметь применять признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 3)
2. Повторение раннее изученного материала
Учитель: Давайте вспомним, что мы уже знаем о перпендикулярности в пространстве.
Математический диктант с пошаговой самопроверкой.
Начертите в тетради куб ABCDA’B’C’D’.
Рис.1
Каждое задание предполагает устную формулировку и запись Вашего примера в тетради.
Итак,
1. Сформулируйте определение перпендикулярных прямых.
Приведите пример на чертеже куба (слайд 4).
2. Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей.
Докажите, что АА’ перпендикулярна DС (слайд 5).
3. Cформулируйте определение прямой, перпендикулярной плоскости.
Назовите прямую, перпендикулярную плоскости основания куба. (слайд 6)
4. Сформулируйте теоремы устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости. (слайд 7)
5. Решите задачу №1. ( слайд 8)
Найдите угол между прямыми FO и АВ, если ABCDA’B’C’D’ - куб, точка О - точка пересечения диагоналей основания, F - середина А’С.
Рис.2
6. Рассмотрение домашней задачи №119( слайд 9) (устно)
Рис.3
Рассмотреть разные варианты решения: через доказательство равенства прямоугольных треугольников и свойство равнобедренного треугольника.
Постановка проблемы
Рассмотреть истинность утверждения:
- Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.
- Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каким-нибудь параллельным прямым, лежащим в этой плоскости. (слайд 10-11)
Рис.4
3. Изучение нового материала
Ученики предлагают варианты признака.
Формулируется признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 12).
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Доказательство.
1 этап (слайд 13).
Пусть прямая а пересекает плоскость в точке пересечения прямых p и q. Проведем через точку О прямую, параллельную m и произвольную прямую, так чтобы она пересекала все три прямые в точках P, Q, L.
АО=ОВ.
AP=BP, AQ=BQ
APQ =
Медиана LO является высотой (слайд 16)
В силу произвольности выбора прямой m доказано, что прямая а перпендикулярна плоскости
Рис.5
2 этап ( слайд 17)
Прямая а пересекает плоскости в точке отличной от точки О.
Проведем прямую a’, такую что a || a’, и проходящую через точку О,
а так как a’ 
a по ранее доказанному,
то и a a
Теорема доказана
4. Первичное закрепление.
Итак, для того, чтобы утверждать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно какого условия?
Очевидно, что столб перпендикулярен и шпалам и рельсам. (слайд 18)
Решим задачу №128. (слайд 19) (работа по группам, если справляются сами, то доказательство проговаривается устно, для слабых учеников используется подсказка на экране)
Рис.6
5. Повторный контроль.
Установите истинность утверждений (ответ И (истина), Л (ложь).) (слайд 20)
Прямая а проходит через центр круга.
Можно ли утверждать, что прямая а перпендикулярна кругу, если
- она перпендикулярна диаметру
- двум радиусам
- двум диаметрам
(Л, Л, И)
6. Рефлексия
Ученики рассказывают основные этапы урока: какая проблема возникла, какое решение (признак) был предложен.
Учитель делает замечание о проверке вертикальности при строительстве (слайд 21).
7. Домашнее задание
П .15-17 №124, 126 (слайд 23)
8. Подведение итогов
- Какова тема нашего урока?
- Какова была цель?
- Цель достигнута?
Приложение
В презентации использованы чертежи, сделанные с помощью программы “Живая математика” представленные в приложении 1.
Литература
- Геометрия. 10-11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.
- С.М. Саакян В.Ф. Бутузов Изучение геометрии в 10-11 классах: методические рекомендации к учеб.: кн. для учителя.
- Т.В. Валаханович, В.В. Шлыков Дидактические материалы по геометрии: 11 класс: пособие для учителей общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения с 12 летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) Мн.
- Поурочные разработки по геометрии: 10 класс/ Сост. В.А. Яровенко.