Урок по теме "Решение тригонометрических уравнений"

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. Образовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля усвоения знаний и умений с использованием «ситуации успеха».
  2. Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнение, обобщение, выделение главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
  3. Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока: урок-практикум.

1-я часть: обобщение и систематизация теоретических основ.

2-я часть: тренировочные упражнения.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.

Оборудование и источники информации: интерактивная доска, мультимедийный проектор, презентация к уроку, динамичные блоки тригонометрических уравнений, карточки для домашнего задания и с уравнениями для решения в классе.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический), работа с динамическими блоками, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Доклад из истории развития тригонометрии.
  3. Актуализация знаний учащихся:
    а) разминка «Эстафета»;
    б) работа на интерактивной доске «Найти ошибку»;
    в)  работа с динамическими блоками.
  4. Решение тригонометрических уравнений.
  5. Итог урока.
  6. Домашнее задание.
  7. Рефлексия.

Ход урока

Этап I. Организационный момент

Французский писатель Анатоль Франс (1844 – 1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело…. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот давайте сегодня, на уроке будем следовать совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам при сдаче экзаменов. Сегодня у нас урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Цель нашего урока: повторить, обобщить, привести в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Надо сказать, что именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов, такой вывод сделала комиссия, которая проводила анализ ошибок по ЕГЭ.

Слово предоставляется ученику для доклада по теме «История развития тригонометрии».

Как гласит китайская мудрость «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я усваиваю». Так давайте займёмся делом – решением уравнений.

Этап II. Актуализация знаний учащихся

• Разминка «Эстафета»

На доску спроецированы задания. Учащиеся самостоятельно выполняют их по схеме: сначала задание 1, затем задание под номером, совпадающим с ответом к заданию 1, и т.д. Первый решивший поднимает руку и говорит ответ, если ответ верный, то называет цепочку решения (порядок выполнения задания), а если нет, то класс продолжает выполнять задание. Ученик, первым назвавший ответ и цепочку решения, получает оценку «5».

Задания к «Эстафете»

  1. Чему равно значение выражения:  при х.
  2. Найдите наименьшее значение функции
  3. Чему равно наибольшее значение выражения 2sin4x + 3?
  4. Решите уравнение.
  5. Упростите выражение

Ответ: 1-3-5-2-4

• Исправление ошибок

На доске записаны решения нескольких примеров и уравнений, каждое из которых содержит одну ошибку, часто допускаемую учащимися. Ученикам предлагается найти и исправить ошибки.

  1.  .

  2. ,
    ,
    .







• Работа с динамическими блоками

Работа в парах. На каждую парту выдаются динамические блоки. Каждый блок составлен так, что заставляет учащихся найти в нём что – то особенное путём сравнения, обобщения, выделения главного, раскрытия идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма и т. д.

Вопрос к блоку №1: «О чем идет речь? Что особенное?»

? ОСОБЕННОЕ!
1
2
3
4
?МОЖНО!

– О чем идет речь?

Ответ: 1, 2, 4 – простейшие тригонометрические уравнения; 3 – уравнение с параметром (имеет решение только при а = 0).

Вопрос к блоку №2: «О чем говорит этот блок уравнения (лишнее, но!)»

? ЛИШНЕЕ, НО!
1 2sin2(2x) + 5sin(2х) – 3 = 0
2 6sin2х + 4sin x cos x = 1
3 3tg x + 5ctg x = 8
4

– О чем говорит этот блок уравнений?

Ответ: 1, 3, 4 – тригонометрические уравнения, решаются методом введения новой переменной; 2 – однородное уравнение второй степени, которое в дальнейшем решается методом введения новой переменной.

Вопрос к блоку №3: «Почему здесь употребляются два слова «нельзя и можно»?»

?НЕЛЬЗЯ!
1 sinx + cosx = 0
2 sin2x – 5sinxcosx + 4cos2x= 0
3 3sinxcosx – cos2x = 0
?МОЖНО!

– Что бы это значило?

Ответ: 1 – однородное уравнение 1-й степени (: cosx (sinx)); 2 – однородное 2-й степени (:); 3 – делить на  нельзя, это приведет к потере корней (нужно проанализировать решение уравнения  = 0 или разложить на множители).

Вопрос к блоку №4: «Найдите липшее уравнение и раскройте идею его решения»:

а)

1 Sin(2xcos(2x) – sin (2x) = 0
2 arcsin(x + 1)= /6
3 5cos3x + 4cos x = 0

б)

1
2
3 sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 0

Ответ к блоку №4:

а) в 1 и 3 уравнениях – метод разложения на множители; во 2 уравнении воспользуемся определением arcsin(а), т.е. x + 1 = sin/6), где х = – ;

б) 2 уравнение – метод введения вспомогательного аргумента; в 1 и 3 – используется метод оценки левой и правой частей уравнения

Проблемная ситуация! Учащиеся, возможно, ещё не смогут определить методы решения данных уравнений, поэтому уравнеия № 1 и 3 предлагается обсудить совместно с учителем, № 2 – вспомнить после изучения соотвесствующих тем.

Этап III. Решение тригонометрических уравнений.

Учитель: работая с динамическими моделями, мы невольно повторили основные типы тригонометрических уравнений и способы их решения. Давайте ещё раз назовём основные типы тригонометрических уравнений по способам их решения.

Учащиеся называют: Простейшие уравнения, решаемые по формулам. Уравнения, приводимые к простейшим путем упрощения. Уравнения, решаемые с помощью подстановки. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители. Однородные уравнения, решаемые делением обеих частей уравнения на тригонометрическое выражение.

Учитель: как сказал С. Коваль: «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». Удастся ли нам решить остальные предложенные уравнения?

(Карточки для домашнего задания и с уравнениями для решения в классе заранее выданы перед уроком.)

1) На доске записано уравнение и его решение. Ученик должен объяснить каждый этап решения.

2) Найдите число корней уравнения  в зависимости от параметра а на отрезке .

у =

(Используется графический способ решения данного уравнения)

Осуществим параллельный перенос системы координат, выбрав началом новой системы точку О1. В системе O1X1Y1 построим график функции у1 = , y = а — прямая, параллельная оси Ох.

Ответ:

  • при a < 0 нет общих точек, поэтому данное уравнение корней не имеет;
  • при a = 0 – 5 корней;
  • при 0 < а< 1- 8 корней;
  • при а = 1 – 6 корней;
  • при 1< а< 3 – 4 корня;
  • при а = 3 – 2 корня.

3) Решите уравнение .

(Используется замена t = ctgx, в результате получается уравнение

которое решается методом интервалов).

4) Решите уравнение +

(Используется метод оценки левой и правой частей уравнения)

5) Решите уравнение sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 0.

(Используется метод оценки левой и правой частей уравнения. Уравнение равносильно системе, т.к. в левой часть уравнения представлена суммой четырёх неотрицательных функций:

6) Решите уравнение  = -.

 = (-1)n+1arcsin + = (-1)n+1 +

 = (-1)n+1 +,  =,  = ,

,

Ответ: ,

7) Решите уравнение .

Преобразуем правую часть уравнения, выделением полного квадрата. Тогда графиком данной функции  является парабола, ветви которой направлены вверх, а сама она смещена вверх по оси ОУ на 1 единичный отрезок.

График функции  расположен в интервале, т.е. . Тогда  и  достигается равенства при у=1, если

Решая второе уравнение системы, получаем х=4. Подстановкой убеждаемся, что х = 4 является и решением первого уравнения системы.

Ответ: 4.

Этан IV. Подведение итогов урока.

А. Энштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, важнее. Политика только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». Сегодня мы с вами решили много уравнений, но осознали, что знаний ещё не достаточно для решения более сложных уравнений. Так что перспектива развития ваших знаний велика. Дерзайте, испытайте удовольствие от решения уравнении. Успехов вам в поиске решений!

Этап V. Задание на дом.

Учащимся выдаются индивидуальные карточки.