Цели:
- обеспечить усвоение новых знаний о правильных многогранниках, их видах;
- формировать пространственные представления учащихся, умения делать обобщения на основе полученных в результате исследования данных, применять полученные знания на практике;
- показать красоту геометрии, ее связь с другими науками и с окружающим миром.
Тип урока: изучение нового материала.
Умения и навыки, приобретаемые учащимися:
- умение применять знания в новой ситуации;
- умение работать в группе, в паре;
- навыки публичного выступления;
- навыки самооценки.
Формы организации работы учащихся: фронтальная, групповая самостоятельная работа, работа в парах, индивидуальная работа.
Оборудование:
- презентация «Правильные многогранники»;
- модели правильных многоугольников (раздаточный материал) и многогранников;
- развертки правильных многогранников;
- модель кристалла поваренной соли;
- карточки с заданиями для групп и тестами.
Ход урока
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний и переход к новой теме
Перед вами модели геометрических тел. Как они называются? (Многогранники) А можно ли из этих многогранников выделить те, которые входили бы в одну «особую» группу. Как можно назвать эту группу? (Предположение – правильные многогранники). Итак, сегодня мы будем говорить о правильных многогранниках.
В тетрадях записать тему урока (слайд 1)
Давайте вместе определим цель и задачи урока. Новая тема «Правильные многогранники». Что же мы должны и можем узнать о них? (Определение, виды, свойства, вычисление площадей поверхности, где, зачем и для чего нам нужны многогранники).
Правильно, примерно по этому плану мы изучали все виды многогранников. Но я бы эту тему выделила особо:
Английский философ, математик Бертран Рассел: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства”. Название “правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. Хотелось бы, чтобы сегодня на уроке и вы увидели эту высшую красоту математики (слайд 2)
III. Изучение нового материала
1. Определение правильного многогранника.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер (слайд 3)
Закрепление определения на контрпримерах (слайд 4). Является ли данный многогранник правильным?
2. Исследование «Сколько существует правильных многогранников?».
Рассматривая многогранник, видим, что при каждой вершине должно быть не менее трех плоских углов. Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 3600 (слайд 5)
Работа в группах.
1 группа: грани – равносторонние треугольники
2 группа: грани – правильные четырехугольники
3 группа: грани – правильные пятиугольники
Задание на карточке 1 группе:
- Чему равен угол правильного треугольника?
- Вычислить сумму плоских углов при вершине, в которой сходится 3, 4, 5 равносторонних треугольников и сделать вывод о возможности существования таких многогранников.
- Составить соответствующие развертки плоских углов при вершине из моделей правильных треугольников.
- Выбрать из набора правильных многогранников те, которые составлены из правильных треугольников.
Задание на карточке 2 группе:
- Чему равен угол правильного четырехугольника?
- Вычислить сумму плоских углов при вершине, в которой сходится 3, 4 правильных четырехугольника, сделать вывод о возможности существования таких многогранников.
- Составить соответствующие развертки плоских углов при вершине из моделей правильных четырехугольников.
- Выбрать из набора правильных многогранников те, которые составлены из правильных четырехугольников.
Задание на карточке 3 группе:
- Чему равен угол правильного пятиугольника?
- Вычислить сумму плоских углов при вершине, в которой сходится 3, 4 правильных пятиугольника, сделать вывод о возможности существования таких многогранников.
- Составить соответствующие развертки плоских углов при вершине из моделей правильных пятиугольников.
- Выбрать из набора правильных многогранников те, которые составлены из правильных пятиугольников.
Отчет о работе групп, введение названий правильных многогранников (слайды 6-8)
- грани многогранника – равносторонние треугольники. Поскольку угол равностороннего треугольника равен 60°, каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной трех, четырех или пяти равносторонних треугольников. Получим тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.
- Если грани – квадраты, то развертка из трех квадратных граней имеет угол 3∙90°=270° – получается куб, который также называют гексаэдром.
- Три пятиугольные грани дают угол 3∙108°=324°, получим додекаэдр.
Для шестиугольников уже три грани дают угол 3∙120°=360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.
Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников – тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.
Вывод (слайды 9 – 14)
3. Историческая справка
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых «Начал» Евклида.
Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку именно Платон (ок. 428 – ок. 348 до н.э.), великий мыслитель Древней Греции, разработал философскую картину мира, где правильные многогранники занимали видное место.
Платон считал, что мир строится из четырех «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырех правильных многогранников.
Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду. Куб – самая «устойчивая» из фигур – землю. Октаэдр – воздух – как самый «воздушный» многогранник. Пятый многогранник – додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал весь мир и считался главной геометрической фигурой мироздания. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и плазменным.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации (слайды 15- 17)
4. Введение теоремы Эйлера
Установим взаимосвязь между элементами правильных многогранников. Рассмотрим таблицу 1 (слайд 18)
| Правильный многогранник | Число | ||
| граней | вершин | рёбер | |
| Тетраэдр | 4 | 4 | 6 |
| Куб | 6 | 8 | 12 |
| Октаэдр | 8 | 6 | 12 |
| Додекаэдр | 12 | 20 | 30 |
| Икосаэдр | 20 | 12 | 30 |
Рассматривая таблицу 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» Очевидно, нет. Рассмотрим новую таблицу подсчетов (см. табл. 2).
Таблица 2 (слайд 19)
| Правильный многогранник | Число | |
| граней и вершин (Г + В) | рёбер (Р) | |
| Тетраэдр | 4+4=8 | 6 |
| Куб | 6+8=14 | 12 |
| Октаэдр | 8+6=14 | 12 |
| Додекаэдр | 12+20=32 | 30 |
| Икосаэдр | 20+12=32 | 30 |
Теперь закономерность видна. Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин больше числа ребер на два»
Г + В – Р = 2.
Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников (слайд 20)
5. Практическая работа
Работу выполняют в парах. Каждая пара работает с одной моделью правильного многогранника (куб, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр)
Цель работы: вывести формулу площади поверхности многогранника и вычислить его площадь
Ход работы.
- Сколько граней имеет ваш многогранник?
- Что представляет собой каждая грань многогранника?
- Как найти площадь поверхности многогранника?
- Выведите формулу для вычисления площади поверхности вашего многогранника.
- Сделайте необходимые измерения и вычислите площадь поверхности многогранника.
Итогом работы становится вывод формул вычисления площади поверхности правильных многогранников на доске и запись их всеми учащимися в специальной справочной таблице.
Sтетр.= 4∙
= a2
Sокт.= 8∙
=2a2
Sикос.= 20∙
= 5a2
Sгекс.= 6а2
Sдод.= 12∙
Pr= 6Pr. (формулу комментирует учитель) (слайды 21, 22)
6. Сообщение учащегося «Правильные многогранники и природа» (сопровождается презентацией).
Итак, существует 5 видов правильных многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего – нет, он «подсмотрел» их у природы. Послушаем сообщение «Правильные многогранники и природа» (слайды 23 – 27)
Сообщение
Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно – относить их к живой или неживой природе, – справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий. Они решили сложнейшую задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. По законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов. Например, вирус полиомиелита, представляет собой икосаэдр.
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Кристаллы поваренной соли ( NaCl) имеют форму куба (демонстрируется модель кристалла соли).
Правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора. В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
Форму октаэдра имеют всем хорошо известный алмаз и монокристалл алюмокалиевых квасцов, применяющихся для протравливания тканей и выделки кожи.
Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.
В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий, вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого натрия имеет форму тетраэдра.
Из курса химии известно, что угол между связями С-Н в молекуле метана, который удаётся очень точно измерить в эксперименте – 1090 27/ Молекула CH4 имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекул метана, полученными при помощи электронного микроскопа.
Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.
7. Связь изучения правильных многогранников с различными науками
Английский математик, поэт и писатель Льюис Кэрролл, автор книги «Алиса в стране чудес» сказал: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» (слайд 28) С какими науками связало нас изучение правильных многогранников? Перечислите науки, о которых вы услышали сегодня на уроке.
- Математика: Изучение геометрических тел и их свойств.
- Физика: Правильные многогранники отождествляют с известными нам четырьмя состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и плазменным.
- Химия: Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ, например, молекулы метана CH4 имеет форму правильного тетраэдра.
- Биология: Существуют одноклеточные организмы – феодарии, форма которых точно передает икосаэдр.
- Медицина (вирусология) Например, вирус полиомиелита, представляет собой икосаэдр.
- Философия: Правильные многогранники занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания.
В качестве домашнего задания предлагаю узнать, с какими еще науками связано изучение правильных многогранников.
8. Дополнительные сведения.
Рассказ учителя о полуправильных (архимедовых) многогранниках и звездчатых правильных многогранниках (телах Кеплера – Пуансо)
Кроме пяти правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда (слайды 29, 30)
Интересный факт: поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра (слайд 31)
Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера – Пуансо. В 1811 году французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 – 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках» доказано, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо (слайды 32, 33)
Высказывание Д. Гильберта «В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу» Слайд «Цветы из сада геометрии» (слайд 34)
Краткий рассказ учителя о телекоммуникационном проекте «Платоновы тела и тайны мироздания» (2011 год, руководитель Карлова Г.Н. – учитель математики МОУ «Смирновская СОШ» Нижнеомского муниципального района Омской области), ссылка на сайт с материалами проекта planeta.tspu.ru/
IV. Домашнее задание
- п. 36, 37, 271–275 (по выбору)
- познакомиться с проектом «Платоновы тела и тайны мироздания» Узнать, с какими еще науками связано изучение правильных многогранников? Как правильные многогранники отражены в архитектуре, живописи? (слайд 35)
V. Итог урока. Рефлексия деятельности.
Тест «Правильные многогранники» (слайд 36) (задание на карточках)
| 1 | Правильных многогранников существует ровно … | А) 6 Б) 5 В) 4 Г) 7 |
| 2 | Гранями октаэдра являются правильные … | А) треугольники Б) четырехугольники В) пятиугольники Г) шестиугольники |
| 3 | Правильные многогранники называют телами … | А) Пуансо Б) Кеплера В) Платона Г) Архимеда |
| 4 | Сколько ребер у гексаэдра (куба)? | А) 6 Б) 12 В) 10 Г) 8 |
| 5 | Правильный двенадцатигранник | А) икосаэдр Б) додекаэдр В) октаэдр Г) тетраэдр |
| 6 | Форму икосаэдра имеют … | А) бактерии Б) микробы В) вирусы Г) алмазы |
| 7 | Для правильного многогранника с числом вершин В, граней Г и ребер Р выполняется следующее равенство: В + Г – Р = … | А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 0 |
Самопроверка теста по готовым ответам (на слайде) (слайд 37)
Подходит к концу урок, подведём итоги.
– Убедились ли вы в правоте высказывания Бертрана Рассела о высшей красоте в математике, о гармонии, правильности и совершенстве в природе?
– Как вы оцениваете свою работу и работу класса на уроке? Добились ли мы поставленной цели урока?