Ход урока
Цели урока.
Образовательные:
ввести понятие неравенства второй степени с одной переменной, познакомить с алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной, основанный на свойствах квадратичной функции.
Воспитательные:
воспитывать математическую культуру, аккуратное ведение записи в тетрадях, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, трудолюбие, волю, эмоции.
Развивающие:
развивать интерес обучающихся к математике, логическое мышление,
самостоятельную деятельность на занятиях, развивать память, внимание,
воображение обучающихся.
Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки, таблица: “Решение неравенств второй степени”, карточки для игры, карточки для самостоятельной, индивидуальной работы.
Тип урока: комбинированный.
Эпиграф: “Единственный путь, ведущий к знанию- это деятельность”. (Бернард Шоу)
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.
2. Актуализация опорных знаний.
Сегодня вам самим предстоит открыть новые знания. Прежде, чем совершить открытие, давайте проверим себя, готовы ли мы совершить его, всё ли было усвоено на уроках, имеются ли слабые места. Для этого проведём разминку по изученному материалу.
(Повторение расположения графика квадратичной функции в зависимости от а и от числа корней уравнения ax2+ bx+c=0; повторение нахождения промежутков знакопостоянства функции).
Устно:
1) Что можно сказать о количестве корней уравнения ax2+bx+c=0 и знаке коэффициента а, если график расположен следующим образом?
2) Назвать промежутки знакопостоянства функции у= ax2+bx+c, если её график расположен указанным образом:
3. Изложение нового материала.
Называя промежутки знакопостоянства, приходилось решать неравенства:
Но встречаются еще нестрогие неравенства
.
Подумайте, как бы вы назвали эти неравенства? (Неравенства второй степени с одной переменной).
Итак, неравенства вида
,
где х - переменная, ɑ, b и с – некоторые числа, причем ɑ≠0, называют
неравенствами второй степени с одной переменной. Решить неравенства второй
степени с одной переменной - значит найти промежутки, в которых квадратичная
функция принимает положительные или отрицательные значения.
Являются ли следующие неравенства неравенствами второй степени с одной переменной:
а)
>0,
b) 2
Пример 1. Решить неравенство:
Для решения этого неравенства необходимо рассмотреть функцию
у =
.
Эта функция - квадратичная, ее графиком является парабола, ветви которой
направлены вверх, так как а = 1 > 0. Как же расположена парабола относительно
оси ох? Имеются ли точки пересечения параболы с осью ох? Для этого надо решить
уравнение:
Данное уравнение является приведенным, поэтому применим теорему Виета:
Отсюда,
Следовательно, парабола пересекает ось ох в двух точках, абсциссы которых равны
2 и 4. Покажем схематически расположение параболы на координатной плоскости.
Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения, когда х принадлежит промежутку (-оо;2) или промежутку (4;+оо) , т.е. множеством решений неравенства является объединение промежутков (-оо;2) и (4;+оо).
Ответ: х € (-оо;2) U (4;+оо).
Пример 2. Решить неравенство:
-
Рассмотрим функцию у= -
,
ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.
Решим уравнение: -
,
Д = b2 – 4ac = 52 – 4 • (-1) • (-7) = 25 – 28 = -3 < 0, нет корней. Значит, парабола не имеет общих точек с осью ох.
Функция принимает только отрицательные значения, поэтому данное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 3.
При каких значениях параметра m неравенство
(m-2) · x2 – 2x + m – 2 < 0 выполняется для всех х?
1. Пусть m ≠ 2. Тогда ветви параболы у = (m-2) · x2 – 2x + m – 2 должны быть направлены вниз и парабола не должна пересекать ось ох.
2. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия
3. Решив систему неравенств, получим m < 1.
4. Пусть m = 2. Тогда неравенство примет вид – 2x < 0, т.е. оно выполняется только при x>0. Поэтому значение m = 2 не удовлетворяет требованию задачи.
Ответ:
А сейчас запишем алгоритм решения неравенств второй степени, основанный на свойствах квадратичной функции:
- Определить знак коэффициента а квадратичной функции y = ax2 + bx + c и указать направление ветвей параболы.
- Определить знак дискриминанта D квадратного трёхчлена ax2 + bx + c
- Если D > то вычислить корни и отметить их на числовой прямой.
Если D <0, то сразу перейти к следующему шагу. - Схематично изобразить параболу т.е. представить её положение на координатной плоскости.
5. По схематическому изображению параболы записать множество решений неравенства (т.е. найти на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ax2 + bx + c > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ax2 + bx + c < 0).
4. Закрепление изученного материала
М.В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения”.
Пример 1.
Сторона параллелограмма на 2 см больше высоты, опущенной на эту сторону. Какова длина этой стороны, если площадь параллелограмма больше 15 см2?
Пусть AD=x , тогда BK=(х-2) см. SABCD=х·(х-2) см2. По условию задачи площадь параллелограмма больше 15, получим неравенство:
х· (х-2) > 15
х2 - 2х - 15 > 0
х2 - 2х – 15 = 0
D=4+60=64
;
,
х
.
А так как длина не может быть отрицательна, то
х
,
т.е. х > 5
Ответ: х.
Пример 2.
На рисунке изображен график функции
. Используя
график, решите неравенство
и укажите
число целых решений этого неравенства.
Пример 3.
По графику квадратичной функции найдите промежутки знакопостоянства этой функции.
Пример 4.
Найти область определения функции:
у =
Данная функция представлена в виде дроби,ее знаменатель не может быть равен 0, поэтому необходимо решить неравенство:
Данное уравнение является приведенным, поэтому применим теорему Виета:
Отсюда, x1 = 1, x2 = 3. Следовательно, парабола пересекает ось ох в двух точках, абсциссы которых равны 1 и 3. Покажем схематически расположение параболы в координатной плоскости.
Из рисунка видно, что функция принимает положительные значения, когда х принадлежит промежутку (-оо;1) или промежутку (3;+оо) , т.е. множеством решений неравенства является объединение промежутков (-оо;1) и (3;+оо).
Ответ: х € (-оо;1) U (3;+оо).
Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Решить неравенство:
x2 – 4x + 4 > 0
Графиком функции является парабола, ее ветви направлены вверх, найдем точки пересечения параболы с осью ох. Для этого решим уравнение: x2 – 4x + 4 > 0, х=2, т.е. парабола имеет одну общую точку с ох.
х € (-
Ответ: х € (-.
2. Найдите верное решение неравенства
x2 – 3x – 4 > 0 в таблице:
| а | б |
х |
х
 |
| с | д |
х |
х |
Вариант 2
1. Решить неравенство:
- x2 – 2x – 5 < 0
Графиком функции является парабола, ее ветви направлены вниз (а = -2 < 0), найдем точки пересечения параболы с осью ох. Для этого решим уравнение:
- x2 – 2x – 5 = 0
Д=(-2) 2 -4·(-1)·(-6) = 4-20 = -16 < 0, нет корней. А это значит, что парабола не имеет точек пересечения с ох, функция
у = - x2 – 2x – 5 принимает только отрицательные значения.
Следовательно, х € (-
Ответ: х € (-
2. Найдите верное решение неравенства x2 – 3x – 10 < 0 в таблице:
| а | б |
х |
х
 |
| с | д |
х |
х |
5. Итог урока. Выставление оценок.
- Какую тему мы сегодня изучили?
- Что является графиком квадратичной функции?
- Нужно ли находить координаты вершины параболы?
- В каких случаях парабола имеет точки пересечения с осью ох?
- От чего зависит направление ветвей параболы?
- Кто сможет сформулировать алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной, основанный на свойствах квадратичной функции?
Домашняя работа:
1. Выучить алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.
2. № 114 (г, д), стр. 4.
Характеристика работы групп, отдельных учащихся, комментирование оценок.