Урок по теме "Способы решения тригонометрических уравнений. Итоговый урок"

Разделы: Математика

“Уравнения будут существовать вечно”.
А.Эйнштейн.

Цели урока:

Образовательные:

  • повторить способы решения некоторых видов тригонометрических уравнений;
  • систематизировать полученные знания, активизировать самоконтроль, взаимоконтроль.

Развивающие:

  • уметь применять полученные знания для решения тригонометрических уравнений;
  • развивать математическое мышление.

Воспитательная:

  • воспитать интерес к математике и к дисциплинам умственного труда.

Тип урока: итоговый урок

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная

Необходимое оборудование: интерактивная доска, мультимедиа проектор, карточки с устными и подготовительными упражнениями, 4 варианта самостоятельной работы.

Ход урока

  1. Организационный момент.
  2. Устные упражнения.
  3. Подготовительные упражнения.
  4. Повторение методов решения тригонометрических уравнений.
  5. Самостоятельная работа.
  6. Подведение итогов урока.
  7. Домашнее задание.
  1. Организационный момент.

    2. Приветствие учителя, отметить отсутствующих, проверить подготовку к уроку. Сообщить тему и цель урока. В дальнейшем все задания выводятся на интерактивную доску.

  2. Устные упражнения.
  • Что называется арксинусом, арккосинусом, арктангенсом числа? Привести примеры.
  • Для каких чисел определен арксинус, арккосинус, арктангенс.
  • Написать формулы нахождения корней уравнений: sin x = a, cos x = a, tg x = a.
  • При каких значениях а уравнения sin x = a, cos x = a, tq x = a имеют решения?
  • Вспомнить как вычисляются обратные тригонометрические функции.
  • Вычислить: Решить простейшие уравнения:

ctg x=0; cos x=1

  1. Подготовительные упражнения.
  1. Пользуясь формулами сложения преобразовать выражения:
    2.
  3. .
  1. Повторение методов решения тригонометрических уравнений.
  1. Решение методом введения новой переменной.
  1. 4sin2x+11sinx – 3 =0.

    2. Введём новую переменную: t=sin x, tприходим к квадратному уравнению:

    4t2+11t – 3=0.

    Корни данного уравнения t1= -3; t2=.

    Делаем обратную замену с учетом, что t sin x=. Решаем данное уравнение:

    x = arcsin+ 2.

    x = .

    Ответ можно записать в следующем виде:

    a) x = .

  2. 5sin2x+6cos x – 1 =0.

Из основного тригонометрического тождества sin2x=1 – cos2x, следовательно исходное уравнение примет вид: -5cos2x+6cos x – 1=0.

Введём новую переменную t=cos x, t . Приходим к квадратному уравнению:

-5t2+6t – 1=0. Корни данного уравнения t1=1; t2= . Оба корня подходят. Делаем обратную замену.

cos x=1

Частный случай х=.

cos x=.

.

  1. Решение однородного уравнения.
  1. cos2x+4sin2x=2sin2x.

Перепишем уравнение с учётом формулы двойного угла cos2x+4sin2x=4sin xcos x. Разделим обе части уравнения на cos2x Получим уравнение 4tg2x-4tg2x+1=0. Введём новую переменную: t=tgx, уравнение примет вид 4t2 – 4t+1=0. Корень данного уравнения: t= 0,5. Сделаем обратную замену tg x=0,5. Ответ: х = arctg.

  1. Введение вспомогательного угла.
    1. sin x+7cos x=5.

      2. Решим методом вспомогательного угла. Найдём Разделим обе части на , получим . sin , cos. Тогда tg =7 и =arctg7. Применим формулу синуса суммы, получим:

      sin(x+)=, отсюда x+=

      x=

      Ответ: arctg7.

Разделим обе части на 2, получим

Уравнение примет вид Применим формулу синуса разности получим: sin(x - )=. (x - )=. Ответ: x=. Ответ можно записать в следующем виде: х=

  1. Разложение на множители.

    2. sin2x – sin x=0.

    Вынесем sin x за скобки, получим уравнение: sin x(sin x – 1) = 0; sin x=0 или sin x – 1 =0.

    Ответ:x=n , nZ. x=

  2. Применение различных формул.
    1. sin 4x cos2x – cos4x sin2x=0.

      2. Применяем формулу синуса разности. Подобный пример уже рассматривался.

    2. 3sin2x – 4cosx + 3sinx – 2=0.

Решение: 6sin x cosx+3sinx – 4cosx – 2=0,

3sinx(2cosx+1) – 2(2cosx+1)=0.

(2cosx+1)(3sinx – 2)=0.

2cosx+1=0 или 3sinx – 2=0.

cos x=, x=

sin x=, x= .

Ответ:

  1. Самостоятельная работа (10 – 15 мин.).

1 Вариант.

  1. cos2x – 3cos x=sin2x+4.
  2. sin x+cos x=0.
  3. sin2x – sin x=0.

2 Вариант.

  1. sin3x+sin x=sin2x.
  2. 2cos2x+5sin x – 4=0.
  3. sin x – cos x=1.

3 Вариант.

  1. 2sin2x – 7sin x+3=0.
  2. 3sin x – cos x=1.

  3. sin3x cos5x=cos3x sin5x.

4 Вариант.

  1. sin x +7cos x=5.
  2. sin2x – sin x cos x – 2cos2x=0.

  3. cos x+cos2x+cos3x=0.
  1. Подведение итогов урока.

    2. Данный урок последний перед контрольной работой по теме: “ Решение тригонометрических уравнений”. На уроке рассмотрены основные методы решений тригонометрических уравнений, разбираемые в школе.

  2. Домашнее задание (по учебнику Колмогорова А.Н.) №166(г); 168(г); 169(г); 170(г); 172(г).