Урок по теме "Решение логарифмических уравнений и неравенств"

Тип урока: комбинированный

Цели:

• отработать навыки решения логарифмических уравнений и неравенств;
• развитие логического мышления, речи, вычислительных навыков и навыков самостоятельной работы;
• воспитание интереса к математике, расширение кругозора.

Оборудование:

• заготовка газеты “Математический вестник”;
• таблички с названиями отделов;
• письма в редакцию;
• компьютер, мультимедийный проектор
• учебник для 10-11 классов “Алгебра и начала анализа” Ш.А.Алимов, Ю.М.Калягин и др.

Ход урока

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Фронтальный опрос.
4. Решение логарифмических уравнений.
5. Решение логарифмических неравенств.
6. Тестирование.
7. Историческая справка о возникновении логарифмов.
8. Подведение итогов занятия. Задание на дом.

Организационный момент

Учитель.

- Здравствуйте, садитесь!

Сегодня тема нашего занятия “Решение логарифмических уравнений и неравенств”, на котором мы будем совершенствовать знания, умения и навыки по данной теме, используя свойства логарифмов, а так же свойства логарифмической функции.

А пройдет наше занятие в форме деловой игры “Один день работы редакции газеты “Математический вестник””. Я буду в роли главного редактора, а вы – члены редакции, корреспонденты.

Работу наша редакция начнет с проверки уровня вашей подготовки по данной теме, т.е. с проверки домашнего задания.

Проверка домашнего задания

К доске показать решение № 344(3) пойдет ____, а № 359(1) - _____.

Пока наши корреспонденты выполняют необходимые записи на доске, мы проверим решение двух других номеров устно.

Итак, № 344(4) комментирует с места _____.

№ 344(4)

ООУ: , т.е.

(x+4)х=32;

х² + 4х – 32 = 0;

D= 16+128=144; D>0, значит, уравнение имеет два различных действительных корня.

х₁=- 8 и x₂= 4. Согласуем полученное решение с ООУ.

Ответ:- 8 и 4. Все согласны с решением?

№ 359(2) комментирует с места ….

log_0,5 ; ООН: ; 2х² + 3 >0 для любого значения х, значит, знак дроби зависит от знака знаменателя, т. е.; x- 7> 0; х > 7; .

log_0,5< log_0,5(0,5)⁰;

log_0,5log_0,51; так как функция у = log_0,5t убывающая и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то приходим к неравенству

1; 0; 0; 0; 0;

> 0 при любом значении х, т.к. D<0.

x-7 > 0 ; х> 7. Согласуем полученное решение с ООН.

Ответ: .

У кого-нибудь получился другой ответ?

А теперь внимание на доску. Проверяем, как справились со своими заданиями на доске.

№ 344(3)

; ООУ: , т.е. х

;

;

;

х² + 6х – 27 = 0

D = 36 + 108 = 144, D > 0, значит, квадратное уравнение имеет 2 различных действительных корня: x₁=- 9, x₂= - 3.

Согласуем полученное решение с ООУ: - 9 , - 3 .

Ответ: - 9.

№ 359(1)

log₅; ООН: , учитывая, что х²+1 > 0 при любом значении переменной х, получим 3х – 2 > 0; 3x > 2; x > , т.е x

log₅; так как функция у = log₅t возрастающая, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому приходим к решению следующего неравенства: ; ; ; ; т.к. х²+1>0 для любого х, то получим: > 0.

=0; D = 9 – 12 = - 3, D < 0, значит, квадратное уравнение не имеет корней.

Неравенство > 0 решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Кто не согласен с решениями на доске № 344(3) и № 359(1)? У всех такое же решение?

Итак, вы имеете не плохую подготовку. Продолжим нашу работу.

В каждой редакции есть свои отделы, будут они и у нас.

Ваш стол будет представлять отдел писем, ваш – информационный отдел, а ваш – аналитический.

Ответственным секретарем будет – ______.

Работа в редакции требует быстрой реакции на события дня, поэтому постарайтесь быть активными.

Итогом нашей работы сегодня будет выпуск газеты “Математический вестник”. Начнем работу, корреспонденция ждет вас.

Одна из рубрик нашей газеты “Математический калейдоскоп”. На вопросы наших читателей отвечают все корреспонденты, а вот статью в газету готовит из отдела писем корреспондент ….

Фронтальный опрос
(с помощью мультимедийного проектора)

1. От любого ли числа можно найти логарифм?

2. Какое число может стоять в основании логарифма?

3. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей?

4. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

5. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Какое уравнение называют логарифмическим?

9. Дайте определение логарифма.

10. Какое неравенство называют логарифмическим?

Итак, одна заметка у нас уже готова.

Решение логарифмических уравнений

Наша работа продолжается. Слово аналитическому отделу.

Читают письмо.

Я очень люблю разгадывать кроссворды. И вот, совсем недавно, натолкнулся на вопрос, требующий умения решать логарифмические задачи, а мы еще этого в школе не изучали. Помогите мне, пожалуйста. А задача такая: найти произведение корней уравнений и .

Ученик школы № 32 Антон Л.

Как вы думаете, что нужно сделать для того, что бы помочь Антону?

Так как в задании нужно решить два уравнения, то к доске пойдут 2 человека, ну, а все остальные будут работать на местах.

Кто возьмется за решение уравнений?

Обращаю ваше внимание на то, что у вас на столах лежат задания, которые вы выполняете самостоятельно, выбирая задачи с учетом ваших возможностей, на отдельных листах и сдаете в конце занятия. (Приложение 1).

Уравнения решены. Осталось найти произведение корней.

1·10 · = .

Ответ: - произведение корней данных уравнений

Готова еще одна заметка в газету.

Решение логарифмических неравенств

Продолжаем нашу работу. Еще есть письма? Прочитайте.

Помогите! Вопрос жизни и смерти. От того, решу ли я неравенства, зависит моя оценка за четверть. Вот эти неравенства:

1)

2)

3) Олеся Р.

Кто хочет помочь Олесе?

Первое неравенство решает ______, а второе – ______.

1) ООН: т.е.

так как функция у = log_0,25t убывающая и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то приходим к неравенству:

х² -1 3;

х² -4 0;

( х – 2 )( х + 2 ) 0

.

Согласуем полученное решение с ООН.

(1; 2] – решение данного неравенства.

2) ООН:

так как функция у = log₂ t возрастающая, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому приходим к решению следующего неравенства.

x + 8 < 3x² – 9x;

3x² – 9x –x – 8 >0;

3x² – 10x – 8 > 0;

x.

Согласуем полученное решение с ООН.

– решение данного неравенства.

А вот с неравенствами, как 3-е вам еще не приходилось сталкиваться. Поэтому я, как главный редактор, помогу вам в его решении.

3) ООН: .

.

а) если , то

х² +1 х²;

х² +1- х² 0;

1 0 – неверно, значит, на данном промежутке неравенство решений не имеет.

б) если , то

х² +1 х²;

х² +1- х² 0;

1 0 –верно для любого х из промежутка .

Т.е. - решение данного неравенства.

У кого-нибудь есть вопросы по решению этого неравенства?

Продолжим работу.

Тестирование

Следующий этап нашей работы – корреспондентское расследование. В жизни часто приходится сталкиваться с выбором, вот и вам нужно найти верное решение на поставленные задачи. Тестирование( Приложение 2).

Возьмите и подпишите заготовку для ответов, как ее заполнять вы, конечно же, знаете. Итак, приступайте к выполнению теста.

Аналитический отдел, соберите тексты тестов и результаты тестирования. Проведите сортировку по вариантам и сдайте все редактору.

Историческая справка о возникновении логарифмов

Посмотрите, нет ли еще писем на ваших столах, требующих ответа. Есть? Прочитайте.

Пишет студентка 2 курса Щекинского политехнического колледжа Наташа Л.

“Что такое логарифм и как его вычислять – я знаю. Знаю свойства логарифмов и основное логарифмическое тождество, а вот история возникновения логарифмов мне неизвестна. Расскажите об этом в своей газете”.

Ответить на это письмо нам поможет корреспондентка информационного отдела ___. Историческая справка о возникновении логарифмов.(Приложение 3)

Поместите свою статью в газету.

Статью о логарифмической линейке в нашу газету подготовил корреспондент ____. Это интересно (Приложение 4).

Поместите свою статью в газету в рубрику “А знаете ли вы, что…”.

Подведение итогов занятия. Задание на дом

Корреспондентское расследование показало следующие результаты.

С тестом справились на “5 ” ______ человек

На “4 ” ______ человек

На “3” ______ человек

На “2 ” ________ человек.

А это значит, что над решением логарифмических уравнений и неравенств нужно поработать еще. И впереди у вас новое задание – задание на дом.

Дома повторить §15 – 20 и задания № 1, №4,№5,№6 на стр.112.

Работа нашей “Редакции” завершена. В ходе работы мы не только решали логарифмические уравнения и неравенства, отвечали на вопросы, вспоминали свойства логарифмов, но и выпустили газету “Математический вестник”, в которой отражены рубрики: “Это интересно”, “Из истории”, “Математический калейдоскоп”, “Спрашивали - отвечаем”, “Помоги другу”, “Познай себя”.

За работу на занятии получили оценки:

Спасибо вам за работу на уроке.

Литература

1. Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002
2. Математика. Приложение к газете “Первое сентября”. 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004
4. Кузневич,С.В., Лакоценина, Т.П. Не совсем обычный урок: Практич. Пособие для учителей, студентов пед. Учеб. заведений, слушателей ИПК./ С.В. Кузневич, Т.П.Лакоценина. – Ростов -на-Д: Творческий центр “Учитель”, 2001
5. Николаева, Л.С., Лесных, Л.И. Использование нетрадиционных форм занятий. Специалист. 1992., № 2.
6. Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: “ЧеРо-на-Неве”, 2004
7. Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987.