Цель урока: Изучить теорему Эйлера, выражающую топологические свойства многогранников.
Задачи:
- Образовательные: уметь применять полученные знания на практике при решении задач.
- Развивающие: пробудить интерес к изучаемой теме, мотивировать каждого ученика к учебной деятельности; развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы, развивать устную математическую речь, память, а также самостоятельность в мышлении и учебной деятельности; развитие исследовательской и познавательной компетенций.
- Воспитательные: воспитывать умение работать в команде, формировать чувство ответственности за результаты деятельности.
Тип урока: деловая игра, длительность урока 90 минут.
Урок построен в форме деловой игры. После формулировки темы урока, методом мозгового штурма составляется план изучения темы, формируются разноуровневые группы, выбираются направления деятельности. Первая часть урока посвящена поиску и отбору информации, исследовательской деятельности. Вторая часть – это представление результатов групп.
Оборудование урока и ресурсное обеспечение:
- Мобильный компьютерный класс с программами Windows-98(200) с подключением сети Интернет, мультимедийный проектор, экран.
- Раздаточный материал: наборы геометрических тел
Структура урока.
- Организационный момент (5 минут)
- Постановка учебной задачи урока (5 минут).
Работа в группах (20 минут)- биографы
- аналитики
- историки
- исследователи
- Защита проектов «спикерами» (4 группы по 8 минут)
- Экспертиза проектов (10 минут)
- Итоги урока. (15 минут)
- Домашнее задание. (3 минуты)
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Постановка учебной задачи урока.
Учитель предлагает учащимся задачу семи мостов Кёнигсберга — одна из первых задач топологии, рассмотренная Эйлером.
Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно. В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).
Рис.1
Решение задачи. На упрощённой схеме части города, мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа) Размышляя над задачей, Эйлер сделал следующие выводы:
- вершины графа могут быть четными и нечетными
- одним росчерком пера можно начертить граф, все вершины которого четные, можно начать в любой вершине графа и закончить этой же вершиной
- число нечетных вершин (таких, к которым ведет нечетное число ребер) должно быть нечетным, граф с четным числом нечетных вершин, не существует
- невозможно начертить одним росчерком граф с более чем двумя нечетными вершинами.
Рис.2
У графа кенигсбергских мостов четыре нечетных вершины, то есть все. Таким образом, пройти по всем мостам, ни по одному не проходя дважды, не представляется возможным.
Нетрадиционное решение задачи. На карте старого Кёнигсберга был ещё один мост, появившийся чуть позже и соединявший остров Ломзе с южной стороной. Своим появлением этот мост обязан самой задаче Эйлера-Канта. Произошло это при следующих обстоятельствах. Император Вильгельм был известен своей прямотой, простотой мышления и солдатской «недалёкостью». Однажды, находясь на светском рауте, он чуть не стал жертвой шутки, которую с ним решили сыграть учёные умы, присутствующие на приёме. Они показали Кайзеру карту Кёнигсберга, и попросили попробовать решить эту знаменитую задачу, которая по определению была нерешаемой. Ко всеобщему удивлению, Кайзер попросил перо и лист бумаги, сказав, что решит задачу за полторы минуты. Ошеломлённый немецкий истеблишмент не мог поверить своим ушам, но бумагу и чернила быстро нашли. Кайзер положил листок на стол, взял перо и написал следующее: «Приказываю построить восьмой мост на острове Ломзе». Так в Кёнигсберге и появился новый мост, который назвали «мостом Кайзера». А задачу с восемью мостами теперь мог решить даже ребёнок.
И это не единственная задача, которую гениально решил Леонард Эейлер.
Тема сегодняшнего нашего урока связана с именем этого замечательного ученого. Мы сегодня познакомимся с теоремой Эйлера для многогранников (без доказательства).
Как вы думаете, какие вопросы необходимо рассмотреть, чтобы изучить данную теорему? Ребята предлагают направления деятельности, которые записываются на доске, корректируются, и каждая группа выбирает себе определенную тему.
- Изучить биографию Эйлера.(биографы)
- Вклад в науку Леонарда Эйлера. (аналитики)
- Познакомиться с историей возникновения вопроса. (историки)
- Сформулировать теорему Эйлера для многогранников. Проверить теорему Эйлера для известных вам многогранников, используя набор геометрических тел. Проверить справедливость этой формулы для n-угольных призмы и пирамиды.(исследователи)
Цель работы групп – изучить вопросы своего направления, информацию найти в сети Интернет, отобрать самое существенное и главное. Подготовить и оформить информационный продукт с помощью программных средств Microsoft Power Point, Microsoft Word. Группам определяется регламент работы 20 минут. По истечении времени «спикеры» представляют работу своей команды.
Работа в группах. Во время поиска, отбора и систематизации информации учитель консультирует, оказывает помощь.
III. Защита проектов «спикерами».
Группа №1. Биографы. Биография Леонарда Эйлера (краткая биография представлена в Приложении 1 к уроку)
Группа №2 Аналитики. Вклад в науку Леонарда Эйлера(перечень достижений представлен в Приложении 2 к уроку)
Группа №3. Историки. Топология. (Приложение 3)
Группа №4. Исследователи.
Теорема Эйлера. Если многогранник ограничен односвязной поверхностью, то сумма чисел его вершин и граней на 2 больше числа его рёбер, т.е. В+Г-Р=2. Проверим теорему Эйлера для известных многогранников, используя набор геометрических тел, и справедливость этой формулы для n-угольных призмы и пирамиды.
Таблица № 1.
|
Многогранник |
Число вершин |
Число ребер |
Число граней |
Треугольная пирамида |
4 |
6 |
4 |
Четырехугольная пирамида |
5 |
8 |
5 |
Треугольная призма |
6 |
9 |
5 |
Четырехугольная призма |
8 |
12 |
6 |
n-угольная пирамида |
n +1 |
2n |
n +1 |
n-угольная призма |
2n |
3n |
n +2 |
Таблица №2
|
Многогранник |
Число граней+вершин |
Число ребер |
Треугольная пирамида |
4+4=8 |
6 |
Четырехугольная пирамида |
5+5=10 |
8 |
Треугольная призма |
6+5=11 |
9 |
Четырехугольная призма |
8+6=14 |
12 |
n-угольная пирамида |
(n +1)+ (n +1)= 2n +2 |
2n |
n-угольная призма |
2n+n+2=3n+2 |
3n |
Итак, нашими исследователями была подтверждена формула В+Г-Р=2, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.
IV. Экспертиза проектов. Анализ всех информационных продуктов. Краткий обмен мнениями.
V. Подведение итогов урока. Рефлексия в виде решения первоначальной задачи урока и устных задач, оценивание работ каждой группы, отмечается активность не только групп, но и работа каждого участника образовательного процесса.
Упражнения.
1. На рисунке 1 (см. рис. 3) укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.
Ответ: Выпуклые – б), д); невыпуклые – а), в), г).
2. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.
3. Верно ли, что объединение выпуклых многогранников является выпуклым многогранником?
Ответ: Нет.
4. Может ли число вершин многогранника равняться числу его граней?
Ответ: Да, у тетраэдра.
5. Установите связь между числом плоских углов П многогранника и числом его ребер Р.
Ответ: П = 2Р.
6. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин В и граней Г, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Приведите примеры таких многогранников.
Ответ: а) В = 6, Г = 8, октаэдр; б) В = 7, Г = 10, пятиугольная бипирамида.
7. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если у него: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Нарисуйте эти многогранники.
Ответ: а) В = 8, Г = 6, куб; б) В = 10, Г = 7, пятиугольная призма.
8. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если число ребер равно 12? Нарисуйте эти многогранники.
Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.
9. Докажите, что в любом выпуклом многограннике есть треугольная грань или в какой-нибудь его вершине сходится три ребра.
10. Подумайте, где в рассуждениях, показывающих справедливость соотношения Эйлера, использовалась выпуклость многогранника.
11. Чему равно В – Р + Г для многогранника, изображенного на рисунке 6? Ответ: 0.
VI. Домашнее задание:
1) Всему классу.
Решить планиметрическую задачу на применение теоремы Эйлера о зависимости между радиусами вписанной и описанной окружностей треугольника: Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности, равен 25, а вписанной в него окружности – 12. Найдите стороны треугольника
2) Разбиться на группы, выбрать один из следующих вопросов семинарского занятия по теме «Правильные многогранники». Задание группам: подготовить теоретический материал, изучить историю вопроса и оформить информационный продукт с помощью программных средств Microsoft Power Point, Microsoft Word.
- Используя соотношение Эйлера доказать следующее свойство выпуклых многогранников: В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.
- Правильные многогранники.
- Полуправильные многогранники.
- Звездчатые многогранники.
- Доказать теорему Эйлера методом математической индукции (по желанию)
Литература.
- Геометрия. 10-11 класс. Учебник. Смирнова И.М., Смирнов В.А
- Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы (Пер.с англ. И.Н.Веселовского. М., Наука, 1967).
- Геометрия 10, 11. Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. М.; ДРОФА, 2010
- Н.П. Долбилин. Жемчужины теории многогранников.
- Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.
Интернет ресурсы: