1. Понятие, суждение, умозаключение.
Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления, который реализуется в таких естественно сложившихся формах мышления как понятие, высказывание и умозаключение.
Мышление всегда осуществляется через понятия, высказывания и умозаключения.
Понятие – это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.
Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе достаточны, чтобы с их помощью отличить данный предмет от всех остальных и сделать обобщение, объединив однородные предметы в множество.
Примеры понятий:
Единичные понятия: самая высокая гора в Европе, этот стол, Москва и т.д.
Общие понятия: красота, металл, доброта, глупость, лес, коллектив и т.д.
Абстрактные понятия: вес, жесткость, цвет, вселенная, человечество и т.д.
Конкретные понятия: круг, дом, пламя, битва и т.д.
Любое понятие характеризуется содержанием и объемом.
Содержание понятия – совокупность (множество) его признаков.
Объем понятия – множество предметов, к которым прилагается понятие.
Высказывание – это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:
Алупкинский дворец находится в Крыму.
Кащей Бессмертный – скупой и жадный.
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:
в математической логике – утверждение, истинность которого (в общем случае) зависит от значений входящих в него переменных.
Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение.
Рассуждение – цепочка фактов, общих положений и умозаключений. Умозаключение представляет собой переход от сведений, которыми мы располагаем до рассуждения (посылок или условий), к выводам. Правильный способ умозаключений из истинных посылок всегда ведет к истинным выводам.
Примеры индуктивных рассуждений:
Правильны ли полученные выводы?
1)
1 – нечетное и простое число,
3 – нечетное и простое число.
5 – нечетное и простое число
Вывод: все нечетные – простые числа.
2). 1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,1+3+5+7+9=25, и т.д.
Вывод: квадрат любого числа К равен сумме К первых нечетных чисел.
3). Fe, Си, Zn. Pt – твердые тела
Вывод: все металлы-твердые.
4) В Аргентине, Эквадоре, Венесуэле говорят по-испански.
Вывод: все страны Латинской Америки – испаноязычные
2. Алгебра логики
– определяет правила записи, вычисления значений, упрощения и преобразования высказываний.
В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными.
Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно – нулём (В = 0).
0 и 1 называются логическими значениями.
Высказывания бывают простые и сложные.
Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием.
Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.
Логические операции.
Конъюнкция – логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Другое название: логическое умножение.
Дизъюнкция – логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Другое название: логическое сложение.
Обозначения: V, |, ИЛИ, +.
Инверсия – логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.
Другое название: логическое отрицание.
Обозначения: НЕ, ¬ , ¯ .
Импликация – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
В естественном языке – “Если A, то B”;
Обозначение – 
Логическая эквивалентность (равнозначность) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истины или одновременно ложны.
В естественном языке – “Тогда и только тогда и в том и только том случае”;
Обозначение – ↔
Логические операции имеют следующий приоритет:
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность
Задача.
В 10-х классах учатся 50 человек. Факультатив по математике посещают 36 человек, по физике – 20 человек, на тот и другой факультатив записаны 10 учеников.
Какое количество учащихся не посещают факультативы?
36 – 10 = 26 – число учеников посещающих математику, и не посещающих физику.
20 + 26 = 46 – число учеников, посещающих математику или физику.
50 – 46 = 4 – число учеников, которые не посещают никаких факультативов.
3. Построение таблиц истинности сложных высказываний.
Свойства логических операций.
Пример:
Справочный материал:
Решение логических задач упрощением логических выражений.
На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Боря, Сережа и Володя заняли первые четыре места. Но когда девочки стали вспоминать, как эти места распределились между победителями, то мнения разошлись:
Даша: Андрей был первым, а Володя – вторым.
Галя: Андрей был вторым, а Борис – третьим.
Лена: Боря был четвертым, а Сережа – вторым.
Известно, что каждая девочка в одном утверждении ошиблась, а в другом была права. Кто из мальчиков какое место занял?
Введем обозначения:
А1 – Андрей первый,
А2 – Андрей второй,
Б4 – Борис четвертый,В2 – Володя второй,
Б3 – Борис третий,
С2 – Сережа второй
4. Базовые логические элементы компьютера
Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом.
Базовые логические элементы реализуют три базовые логические операции:
- логический элемент “И” (конъюнктор) – логическое умножение;
- логический элемент “ИЛИ” (дизъюнктор) – логическое сложение;
- логический элемент “НЕ” (инвертор) – логическое отрицание.
Любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех базовых, поэтому любые устройства компьютера, производящие обработку и хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов.
Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы.
Есть импульс – логическое значение сигнала 1, нет импульса – значение 0.
Анализ электронной схемы.
Какой сигнал должен быть на выходе при каждом возможном наборе сигналов на входах?
Решение. Все возможные комбинации сигналов на входах А и В внесём в таблицу истинности. Проследим преобразование каждой пары сигналов при прохождении их через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу.
Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную схему.
В инвертор поступает сигнал от входа В. В конъюнктор поступают сигналы от входа А и от инвертора. Таким образом, F= А & ¬ B
Полусумматор и сумматор.
Арифметико-логическое устройство процессора (АЛУ) содержит в своем составе
такие элементы как сумматоры. Они позволяют складывать двоичные числа.
Сложение в пределах одного разряда (без учета возможной пришедшей
единицы из младшего разряда) можно реализовать схемой, которая называется
полусумматором. У полусумматора два входа (для слагаемых) и два выхода
(для суммы и переноса).
В отличие от полусумматора сумматор учитывает перенос из предыдущего
разряда, поэтому имеет не два, а три входа.
Триггер.
(trigger-защелка, спусковой крючок) – это устройство, позволяющее запоминать, хранить и считывать информацию.
Каждый триггер хранит 1 бит информации, те он может находиться в одном из двух устойчивых состояний –логический “О” или логическая “1”.
Триггер способен почти мгновенно переходить из одного электрического состояния в другое и наоборот
Логическая схема триггера выглядит следующим образом:
Входы триггера расшифровываются следующим образом – S (от английского Set – установка) и R (Reset – сброс). Они используются для установки триггера в единичное состояние и сброса в нулевое. В связи с этим такой триггер называется RS-триггер.
Выход Q называется прямым, а противоположный – инверсный. Сигналы на прямом и инверсном выходах, конечно же, должны быть противоположны.
Пусть для определенности на вход S подан единичный сигнал, a R=0. Тогда независимо от состояния другого входа, который подсоединен к выходу Q (иначе говоря, вне зависимости от предыдущего состояния триггера), верхний по схеме элемент ИЛИ-НЕ получит на выходе 0 (результат ИЛИ равен 1, но его инверсия – 0). Этот нулевой сигнал передается на вход другого логического элемента, где на втором входе R тоже установлен 0. В итоге после выполнения логических операций ИЛИ-НЕ над двумя входными нулями этот элемент получает на выходе 1, которую возвращает первому элементу на соответствующий вход. Последнее обстоятельство очень важно: теперь, когда на этом входе установилась 1, состояние другого входа (S) больше не играет роли. Иными словами, если даже теперь убрать входной сигнал S, внутреннее распределение уровней сохранится без изменения.
Поскольку Q = 1, триггер перешел в единичное состояние, и, пока не придут новые внешние сигналы, сохраняет его. Итак, при подаче сигнала на вход S триггер переходит в устойчивое единичное состояние.
При противоположной комбинации сигналов R = 1 и S = 0 вследствие полной симметрии схемы все происходит совершенно аналогично, но теперь на выходе Q уже получается 0. Иными словами, при подаче сигнала на R-триггер сбрасывается в устойчивое нулевое состояние.
Таким образом, окончание действия сигнала в обоих случаях приводит к тому, что R = 0 и S = 0.