Линейные уравнения с параметрами

Пичугина Ирина Анатольевна, учитель математики

Тематический блок: специфика предметной области знаний.

Область знаний, на материале которой разработан сценарий, тема: математика.

На какую категорию учащихся рассчитано занятие: 7-й класс.

Описание единицы содержания. Возможные уровни ее освоения:

Способы решения линейных уравнений с параметрами. Через мышление и коммуникацию, осуществляя ряд действий по доращиванию способа (от решений линейных уравнений с одной переменной до решения линейных уравнений с одной переменной, но с параметром). По традиционной методике даются готовые способы решения уравнений с параметрами. При использовании МДП ученики сами выводят способы решения линейных уравнений с параметрами.

Схема единицы содержания:

Комментарий к схеме единицы содержания:

Линейные уравнения с параметром – специфические преобразования, которые используются в уравнениях – построение логических цепочек в рассуждениях и выделение случаев для решения уравнений.

Место осваиваемой единицы содержания в системе других единиц. Чем обеспечено освоение выбранной единицы:

Учащиеся владеют методом решения линейных уравнений с одной переменной. При применении этого метода к решению уравнений с параметром, учащиеся сталкиваются с ситуацией "сбоя" и необходимостью "дорастить" имеющийся способ, т.е. осуществить переход от поиска только корней уравнений к умению производить исследования количества корней в зависимости от значений параметров.

Учебный материал и учебные задания:

№	Учебный материал	Задания для работы с материалом
1	Формулы. Выразить одну переменную через другую.	S = vt; V = ab*c; P=2(a+b).
2	Линейные уравнения с одной переменной. Найти корень уравнения.	1) 7х=5; 2) -3х=5; 3) 0*х=5.
3	Линейные уравнения с параметром. Решить относительно х.	1) а*х=5; 2)mx=m-1; 3) py-3y-4p+12=0; 4) bx-3x=b³-3b²+4b-12.

Варианты ответов учащихся и/или способы их выполнения:

№	Варианты ответов и/или способов действия учащихся	Действия педагога на ответы учащихся	Вопросы или задания, выводящие на новый уровень понимания
1	1) v=S:t; 2) в*с=V:а; 3) а=Р/2-в	Проверяет верность выражения одной переменной через другую.	– При каких значениях переменных имеют смысл эти формулы?
2	1) х=5:7; 2) х=5:(-3); 3) корней нет.	Следит за ходом решений уравнений	– Всегда ли линейное уравнение может иметь корни?
3	1) х=5:а; 2) х=(m-1):m; 3) у=4*(р-3):(р-3), у=4; 4) х=b²+4	Напоминает роль букв в алгебре. Обращает внимание ребят на то, что за буквой скрывается число. Учит выражать неизвестное через выражения с фиксированным числом, выделять случаи для решений линейных уравнений с этим числом.	– Переменную,которую надо найти,будем называть неизвестной, а переменную через которую будем выражать искомую неизвестную,назовем параметром. Решите первое уравнение. Не верно решили? Почему? Подумайте и запишите верное решение, учитывая все "особые" случаи, перечисленные вами. Группами решите в тетрадях самостоятельно следующие уравнения. Какой случай лучше рассмотреть первым? Какова должна быть конструкция записи ответа?

Организационные формы проведения занятия (индивидуальная, фронтальная, групповая, межгрупповая коммуникация, другое):

Индивидуальная. Групповая.Есть дети, которые самостоятельно-индивидуально находят "нужное" решение (они первыми выходят к доске и успешно достигают цели), а есть дети и такие задания с ограничениями во времени – когда удобна групповая форма работы.

Этапы занятия и возможные последовательности их прохождения:

Задания, создающие ситуацию успеха: решение линейных уравнений 7х=5, -3х=5, 0х=5 фронтально аналитическим способом. Задания, создающие ситуацию сбоя: решение линейных уравнений с параметрами ах=5, mx=m-1, py-3y-4p+12=0, bx-3x=b: 3-3b : 2+4b-12. Идет доращивание нового способа: выражают неизвестную переменную через выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр; выделяют случаи для решения уравнений; фиксируют внимание на случае, который лучше рассматривать первым, чтобы его не потерять; обращают внимание на конструкцию записи ответа. Самостоятельно закрепляют полученные знания. Рефлексия. Дети объясняют, почему не сработал старый способ, как получили новый, в чем его отличие от известного.

Подведение итогов занятия:

Выявление различий ранее используемого способа решения линейного уравнения с одной неизвестной величиной и выведенного способа решения линейного уравнения с параметром, выявление "причин", от которых зависит решение этого уравнения и количество корней. В ходе рефлексии учащиеся анализируют путь своего мыслительного движения к новому способу.

Деятельность педагога, обеспечивающая освоение единицы содержания. Описание используемых технологических приёмов и технологий:

Учитель предлагает ученикам задания, внешне похожие на предыдущие, но требующие другого способа решения – ЗФО. Дети самостоятельно ищут пути решения задач, имея для этого достаточно знаний, приобретенных на предыдущих уроках, применяя которые в данной нестандартной ситуации приходят к правильным выводам. В результате открывают для себя новое в исследуемом предмете.

О проведённом занятии в свободной форме:

I. У: Из формул:S=vt,V=abc,P=2(a+b) выразите v,t,а,в. При каких значениях переменных имеют смысл эти формулы? Какое уравнение называется линейным? Что называется решением линейного уравнения? Решите линейные уравнения:7х=5;-3х=5;0х=5.

II. У: Запишем данные уравнения в виде: 1) ах = 5, где х–переменная, а–неизвестное фиксированное число, которое в математике называют параметром. Найдите корни. Верно ли решили первое уравнение? Каким может быть а? Работая в группах, дети приходят к выводам: если а=0, то 0х=5, корней нет; если а0,то х=(5):а. Ответ: при а=0, корней нет; при а0, х=5:а.2) mx=m–1. Д: Если m=0,то 0х=0–1,0х=-1, корней нет, т.к.нет такого числа, которое при умножении на нуль, даст результат, отличный от нуля. Если m0, то х=(m-1):m. 3) ру–3у–4р+12=0, у(р–3)=4р–12. Д: Если р–3=0, р=3, то 0у=4*3–12, 0у=12–12, 0у=0, бесконечное множество решений, решением является любое действительное число. Если р–30, р3, то у=(4(р-3)):((р-3)), у=4.Ответ:при р=3,беск. множество решений; при р3, у = 4. 4). вх–3х=в:3-3в:2+4в–12. Д: х(в–3)=в:3-3в:2+4в–12. Если в–3=0, в=3,то 0х = 0, беск. множество решений. Если в–30, в3, то х=(в:3-3в:2+ 4в-12):(в-3), х=b:2+4. Ответ:при в=3, бесконечное множество решений; при в3, х= в:2+4.

III. У: Выведите способ решения линейного уравнения с параметром ах = в. Д: Выразим переменную х через выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр; Выделим случаи для решения уравнений: а) Если а0,то х =в:а – единственное решение; б) Если а=0, в0, то корней нет; так как нет такого числа, которое при умножении на нуль, даст результат, отличный от нуля. в) Если а=0, в=0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, решением является любое действительное число. Составляют варианты схем для решения линейных уравнений с параметрами, выводят правило: "Линейным уравнением с параметром называется уравнение вида ах=в, где а и в – некоторые действительные числа, х – переменная. В зависимости от коэффициента а и зависит решение этого уравнения".

Фотографии:

Комментарий к фотографиям:

Урок проходил 21.05.2011 года. На первом фото – решение линейных уравнений относительно переменной х; неверное решение первого линейного уравнения с параметром, далее после групповой работы(фото №2)решение всех предложенных учителем уравнений и на фото № 3 два варианта схем для решения линейных уравнений с параметрами.

25.02.2013