Занятия при подготовке к ЕГЭ. Тема: "Область определения функции и применение ее к решению уравнений"

Фомина Надежда Михайловна, учитель математики

Цели: систематизировать, обобщать знания учащихся, проверить уровень знаний по теме.

Развивать целеустремленность в достижении поставленной задачи, честность в оценке своих знаний и знаний товарищей, умения объяснять и доступно рассказывать подготовленный материал.

Воспитывать познавательную активность, культуру общения.

Цитата занятия: “Пока законы математики остаются определенными, они не имеют ничего общего с реальностью; как только у них появляется нечто общее с реальностью, они перестают быть определенными”.

Альберт Эйнштейн.

Ход занятия

1. Орг. момент. Проверить готовность учащихся к занятию.

2. Теоретическая часть вопроса. Материал подготовил и отвечал ученик.

Я хотел бы напомнить общие сведения о понятии области определения функции.

– Рассмотрим числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х на множестве Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью определения Х. Пишут

у = f(x), х Х.

Областью определения функции, заданной некоторым выражением, называется множество значений аргумента, при которых можно выполнить все действия в записи функции. Значения аргумента, принадлежащие области определения функции, называются допустимыми значениями.

Для области определения функции используют обозначение D(y).

Если f(x) – алгебраическое выражение и область определения функции у = f(x) совпадает с областью определения этого выражения (такую область определения называют естественной), то вместо записи у = f(x), х Х используют более короткую запись: у = f(x).

Для нахождения области определения функции следует исключить те значения аргумента, при которых указанные действия невозможно выполнить. Невозможно, например, делить на нуль; извлекать корень четной степени из отрицательного числа; вычислять логарифм отрицательного числа и нуля; вычислять логарифм по отрицательному основанию и основанию, равному нулю и единице; возводить нуль в степень нуля; возводить отрицательное число в иррациональную степень; вычислять arcsin x, arсcos x, если |x|>1.

3. Рассмотрение вопроса на примерах. Материал подготовил и рассказывал ученик.

Я хотел бы рассмотреть некоторые важные моменты при нахождении области определения:

1) знаменатель дробного выражения не должен обращаться в нуль. Например: у = 1/х, область определения состоит из всех х 0;

у = sin x/cos x, область определения состоит из всех х, для которых cos x 0, т.е. из (n = 0, 1, 2, …):

2) выражение, находящееся под знаком корня четной степени, должно быть неотрицательным. Например: у = , область определения x-50, x5;

у = , область определения + 2х – 3 0, т.е. х -3 и х 1;

3) выражение, находящееся под знаком логарифма должно быть положительным. Например: у = lg(2-х), область определения 2-х >0, т.е. х < 2.

4) основание логарифма должно быть больше нуля и не равным единице. Например: у = log_х+27, область определения х + 2 > 0 и х + 2 1, т.е. х > -2 и х – 1;

5) выражение, возводимое в иррациональную степень, должно быть неотрицательным. Например: у = , область определения х 0;

6) выражение стоящее под знаком функций arcsin и arсcos, по абсолютной величине не должно быть больше единицы. Например: у = arcsin(lg х), область определения |lg x| 1 т.е. 0,1 х 10;

7) выражение, стоящее под знаком тангенса и секанса, не должно равняться , где k = 0, 1, 2, 3, …;

8)выражение, находящееся под знаком котангенса или косеканса, не должно равняться , где k =0, 1, 2, 3, …;

9)степенно-показательная функция считается определенной, когда основание положительно. Точки, в которых основание равно нулю, включаются в область определения, если показатель в этих точках отличен от нуля.

Этот вопрос я подготовил пользуясь пособием по математике (авторы: М.Н.Горейко, А.Б. Антоневич)

4. Примеры нахождения D(y). Материал подготовил и рассмотрел перед классом ученик.

Найти области определения функций:

у = (.

Решение. Так как sin x принимает и иррациональные значения, то x + 0, т.е. х . Кроме того, х не должен обращаться в , так как при х = и основание, и показатель степени обращаются в нуль. Область определения функции

у = ( есть х > .

у = .

Решение. Области определения этой функции принадлежат те х, при которых определен и 0. Для этого нужно, чтобы 1. Но последнее неравенство справедливо лишь в точках х = 0, 1, 2, … . Таким образом, только в этих точках можно выполнить все действия в записи функции и, значит, область определения этой функции состоит только из целых чисел.

у = log_{х – 1}(х² + х – 2).

Решение. Логарифм определен только для положительных оснований, не равных единице. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно дыть положительным. Поэтому получаем систему:

х -1 > 0;

х² – х – 2 > 0;

х – 1 1.

Решая эту систему, находим область определения:

х > 1, х 2.

5. Метод Мажорант (метод оценки). Решение уравнений.

Материал рассмотрен учителем вместе с учениками.

Метод, который имел место быть во всех ЕГЭ по математике. Отметим этот метод, как начальный олимпиадный.

Основная идея метода мажорант состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение и существует такое число М, что для любого х из области определения имеем . Тогда уравнение равносильно системе

Пример 1 Решите уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

При всех значениях х верны неравенства . Следовательно, данное уравнение равносильно системе . Полученная система не имеет решений, так как не удовлетворяет второму уравнению.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Оценим обе части уравнения.

Поскольку , равенство выполняется тогда и только тогда, когда . Решением первого уравнения системы являются значения . При этих х найдем . Следовательно, решение системы.

Ответ: .

Пример 3 Решить уравнение .

Решение.

Пусть , тогда уравнение примет вид . Поскольку и , неравенство выполняется тогда и только тогда, когда . Обратная замена: х + 1 = 0 .

Ответ: – 1.

Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

Решение.

Перепишем уравнение в виде . При всех значениях х выражение поэтому .

При всех значения х выражения и . Поэтому .

Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4.

Получаем систему:

Ответ: при .

Разновидностью метода мажорант являются задачи (“встреча на краю”) в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой.

Прежде всего – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду: путем разложения на множители, избавлением от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо ещё раз внимательно прочитать задание, попробовать нарисовать графический образ функций входящих в задачу.

Пример 1. Решить уравнение .

1 способ.

Решение: Заметим, что левая часть уравнения не превосходит единицы, в то время как правая часть не меньше единицы. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны единицы. Это возможно только при .

Ответ: .

2 способ. Данное уравнение можно решить графически. Для этого построим в одной системе координат графики правой и левой частей уравнения, т.е график функции и график функции . Из рисунка видно, что исходное уравнение имеет решение, только при .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Так как при любом значении х: то данное уравнение выполняется только в том случае, если выполняется система . Первое уравнение системы имеет единственный корень х = 1, но этот корень не удовлетворяет второму уравнению. Поэтому система решений не имеет.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение:

Так как , то левая часть уравнения принимает значение от до 2. Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено .