Урок по теме "Решение тригонометрических неравенств"

Щалпегина Ирина Владимировна, учитель математики

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений.

Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств.

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших тригонометрических неравенств.

Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.
В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.
Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1,другую точку – Р_t2.
Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток, удовлетворяющий данному неравенству.
Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.
Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1к точке Р_t2по дуге), изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).
Находим координаты точек Р_t1(как арксинус или арккосинус данного числа)и Р_t2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁и t_2.
Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Рассуждения при решении неравенств с тангенсом и котангенсом аналогичны.

Рисунок и запись решения, которые должны быть отражены в тетради у учеников, приведены в предлагаемом конспекте.

Конспект урока по теме: “Решение тригонометрических неравенств”.

Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.

N п/п	Этапы урока	Содержание
	Организация класса на работу.
	Проверка домашнего задания.	(Сбор тетрадей с домашней работой)
	Формулировка цели урока.	– Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.
	Устная работа.	(Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения) Решить тригонометрические уравнения: sinx = -, 2sinx =, sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = , cosx = -, cos2x = 1, tgx = -1. Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.
	Повторение.	– Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств. (На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности). 1) sinx -; t_1<t₂; t₁ = arcsin(-) = -; t₂ = p + = ; – + 2p n х + 2p n, n Z. 2) cosx -; t_1>t₂; t₁ = arccos(-) = p – arccos = = p – = ; t_{2 = -}; - + 2p n < х < + 2p n, n Z. – Каким образом отражается на ответе решение строгого неравенства? (3) и 4) неравенства два ученика решают на кодоскопной ленте, класс – самостоятельно на карточках). 3) cosx< ; t_1<t₂; t₁ = arccos = ; t_{2 =}2p - = ; + 2p n < х< + 2p n, n Z. 4) sinx< ; t_1>t₂; t₁ = arcsin = ; t_{2 =}-p - = -; + 2p n< х< + 2p n, n Z. – Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте работу товарища. (Самопроверка с кодоскопной ленты. Комментирует решение ученик, выполняющий задание. После возвращения работ – рефлексия). – Как измениться решение неравенства при замене аргумента х на 2х, на ? (Оценивание работ учащихся).
6.	Новый материал.	– Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам, решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры. (Решение неравенств на доске под руководством учителя). №1. cos²2x – 2cos2x 0. (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку). cos2x(cos2x – 2) 0. Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1. cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ). Ответ: + p n< х< + p n, n Z. №2. 6sin²x – 5sinx + 1 0. (Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями). Замена sinx = t, 1. 6t² – 5t +1 0, 6(t – )(t – ), Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin+ 2p k х arcsin+ 2p k, n, k Z. №3. sinx + cos2x> 1. (Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой). sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin²x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0, Ответ: 2p n< x< + 2p n, + 2p n< x< p + 2p n, n Z. Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема: 00025165926425165824000000000012516582401 №4. coscosx – sinsinx< -. (Обсуждение. К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте). cos(x + ) < -, cost< -. + 2p n< t< + 2p n, n Z, + 2p n< x + < + 2p n, n Z, + 2p n< x< + 2p n, n Z. Ответ: + 2p n < x < + 2p n, n Z. №5. Определите все а, при каждом из которых неравенство 4sinx + 3cosx а имеет хотя бы одно решение. (Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа). 4sinx + 3cosx а, М = = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx . Так как ()² + ()² = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждома таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.
7.	Домашнее задание.	(Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства). cosx > sin²x; 4sin2xcos2x < -; cos² sin² – 0,5; sinx + cosx > 1. Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.
8.	Подведение итогов, рефлексия.	– Назовите приемы решения тригонометрических неравенств. – Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств? – Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение? (Оцениваю работу учащихся на уроке).