Тема: Сумма n-членов арифметической и геометрической прогрессий. Урок №1-2
Цель: вывести формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессии и провести сравнение в этих доказательствах, решить задачи на применение этих формул.
Задачи:
- Образовательная: формирование умений и навыков при нахождении суммы n членов арифметической и геометрической прогрессии в решении разнообразных задач;
- Развивающая:формирование логического мышления через умение заметить закономерности и различия при нахождении суммы n членов и умение самостоятельно вывести формулы для обеих прогрессий;
- Воспитательная: воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию, воспитывать чувство прекрасного; показать связь истории с математикой.
ХОД УРОКА
I. Проверка домашней работы
а) два ученика у доски готовят доказательства вывода формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессии соответственно;
б) решают практические задания на доске:
в) класс работает в это время с карточкой №1 (устные упражнения с отдельными записями в тетрадь. Один ученик на оборотной стороне доски пишет ответы (работа идёт как при математическом диктанте), второй ученик выступает в качестве оппонента, а остальные проверяют свои работы по данным ответам (эти два ученик получают в конце урока оценку).
г) Прослушать ответы учащихся у доски и на месте.
Задать вопросы №6 (а, б) из карточки №1.
II. Новый материал
– Сейчас мы повторили, как вывести формулы n-го члена любой из прогрессий, а также как применять их при решении заданий. Попробуем теперь рещить задачу, которую известный немецкий математик XIX в. Карл Гаусс решил почти не задумываясь в возрасте 5 лет. Послушайте эту задачу, возможно вы тоже быстро найдёте решение.
а) Задача-проблема:
Дана конечная арифметическая прогрессия ? 1, 2, 3,…, 100. Найти сумму её членов.
Вопрос: Какой метод решения вы предлагаете?
Если есть верные ответы, дать возможность
развить свою идею.
Если ответов нет, то отметить, что Гаусс сразу
увидел свойство арифметической прогрессии, что
сумма членов, находящихся на k-месте от начала
равна сумме членов, находящихся на k-месте от
конца – равна сумме первого и последнего членов
прогрессии.
S100 = 1 + 2 + 3 + … + 97 + 98 + 99 + 100
(1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = …) Таких сумм – 50. Отсюда S100 = 101 * 50 = 5050
Это свойство лежит в основе доказательства формулы суммы n-членов арифметической прогрессии в общем виде.
б) Оформить вывод формул для арифметической и геометрической прогрессии в сравнении.
Конспект в тетради
Можно пользоваться любой из формул, какая удобнее по условию задачи.
Для вывода формулы суммы n-членов геометрической прогрессии привести пример задачи – Древняя индийская легенда об изобретателе шахмат. Коротко обсудить метод решения и вывести доказательство формулы в общем виде. Можно пригласить сильного ученика для проведения доказательства. Ценность данного подхода к решению проблемы состоит в том, что ученики самостоятельно доказывают математические тождества.
III. Закрепление материала
Смотри карточку №1 (Приложение 1)
К доске вызвать 2-х учеников, которые будут работать с оборотной стороны доски. Затем сравнить их решение с полученными результатами класса.
IV. Задание на дом смотри в карточке №1. (Приложение 1)
Тема: Сумма n-членов арифметической и геометрической прогрессий. Урок № 3-4
Цель: систематизировать знания учащихся по теме через решение устных упражнений и задач.
ХОД УРОКА
I. Проверка домашнего задания
1) Опрос у доски по доказательству формул суммы n-членов арифметической и геометрической прогрессий.
2) Во время подготовки учащихся у доски каждый ученик класса работает в своём темпе по карточке (устные упражнения с частичной записью в тетрадь № 1,2,3).
3) Послушать доказательства и ответы.
II. Решение задач
Решение задач по карточке № 2 с разбором у доски и записью в тетрадь. Дополнительное задание самостоятельно на оценку.
III. Задание на карточке №2 (Приложение 1)
IV. Самостоятельная работа на 4 варианта из карточки №2 (Приложение 1), время выполнения – 10-15 минут.
Тема: Обобщающий урок по формулам n-го члена арифметической и геометрической прогрессии и суммы n-членов арифметической и геометрической прогрессий.
Цель: повторение и обобщение изученного материала путем решения комбинированных задач. Развитие познавательного интереса к математике.
Задачи:
- Образовательная: формирование умений и вычислительных навыков при использовании рассмотренных формул для арифметической и геометрической прогрессии.
- Развивающая: формирование умений и навыков по решению комплексных задач, и умение применять формулы по нахождению любой из четырёх величин, объединённых в таблицу.
- Воспитательная: формирование умения грамотно и красиво оформить решение задания, умения анализировать, делать выводы; развитие внимания и речевого творчества.
ХОД УРОКА
I. Устная работа по карточке №2, задания № 4, 5, 6 (Приложение 1)
II. Решение комплексных задач по нахождению одной из величин, объединённых в таблицу.
Показать применение формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессии при решении четырех типов задач – такова цель данного задания.
а) на «крыльях» доски сделать заготовки таблиц из карточки № 4, задание I. (Приложение 1)
б) решает ученик у доски, учитель корректирует решение ученика, грамотность его оформления, цветным мелом отмечает полученные ответы, заполняя пустые клетки таблицы.
в) решение задач по нахождению суммы n-членов прогрессий по данным вышеуказанной таблицы.
III. Задание на дом: таблица № 3, задание II.
IV. Самостоятельная работа карточка № 4. (Приложение 1)
Задания также представлены в виде таблицы. Каждому варианту по две таблицы (арифметическая и геометрическая прогрессии). Вариантов – 4. Эту работу можно считать, как контрольной работой по пройденным темам. Сильной группе на выполнение отводится 20 минут, более слабой – 30 минут.