Из опыта подготовки учащихся к ЕГЭ, хотелось бы обратить внимание на проверку корней тригонометрического уравнения.
В 10 классе в связи с изучением периодичности
тригонометрических функций важно привить
учащимся навыки в нахождении периодов таких,
например, несложных тригонометрических
выражений, как sin 2x, cos (+30°), tg
x, ctg 4x и т.д. Учащиеся должны
вынести из 10 класса ясное представление о том,
что периодом выражений sin (ax+b) и cos (ax+b)
служит угол
, a
периодом выражений tg (ax+b) и ctg (ax+b) является
угол
. Все это
нужно вновь напомнить учащимся в 11 классе.
В основу метода проверки корней тригонометрического уравнения следует положить понятие периода уравнения.
Пусть дано, например, уравнение:
=
.
Легко заметить, что периодом этого уравнения может служить угол 180°. Действительно,
cos 4(x+180°) = cos (4 x+2*360°) = cos 4 x,
sin 2(x+180°) = sin (2 x+360°) = sin 2 x и т.д.
Чтобы найти период тригонометрического уравнения, достаточно найти периоды каждой функции, входящей в это уравнение, а затем отыскать их наименьшее общее кратное.
Чтобы найти, пользуясь этим правилом, период
вышеприведенного тригонометрического
уравнения, надо рассуждать следующим образом:
так как период каждой из функций sin 4x и cos 4x равен = 90°, а период
каждой из функций sin 2x и cos 2x есть 360°/2 = 180°, то
периодом уравнения будет наименьшее общее
кратное углов 90° и 180°, то есть 180°.
Методику проверки корней тригонометрического уравнения хорошо уяснить на следующем примере.
Пример. Решить уравнение:
cos 2x +3sin x = 2 (1)
и проверить найденные корни.
Имеем:
(1 - 2
x)+ 3 sin x = 2,
2
x - 3 sin x +1 = 0.
Отсюда,
sin
=1, sin
=1/2
=360°n + 90°,
=180°n +
30°.
Полученное множество корней бесконечно. Чтобы проверить все корни, достаточно произвести проверку только тех из них, которые лежат в пределах одного периода уравнения. Так как периодом уравнения (1) служит угол в 360°, то проверить нужно лишь корни, которые удовлетворяют неравенству:
-180°
180°.
Если придавать n различные целые значения (положительные, отрицательные или нуль), то мы обнаружим лишь три корня, удовлетворяющие этому неравенству, а именно:
90°, 30°, 150°.
После подстановки их в исходное уравнение (1) найдем, что каждый из них обращает это уравнение в верное числовое равенство. Действительно,
cos 180° + 3 sin 90° = -1 + 3 = 2,
cos 60° + 3 sin 30° =
+
= 2,
cos 300
+ 3 sin 150° =
+
= 2.
Есть одно затруднение, с которым сталкиваются учащиеся при решении тригонометрических уравнений. Иногда общий вид углов, правильно найденный учеником при решении тригонометрического уравнения, не совпадает с общим видом углов, указанным в ответе к задаче. Если учитель не обращает на это внимание, то у ученика порой возникает необоснованное сомнение в правильности своего решения. Рассеять это сомнение можно только посредством доказательства, что множество всех корней , найденное учеником, и множество всех корней, определяемое общей формулой в ответе задачи, между собой совпадают. Допустим, что при решении уравнения
-
= cos
учеником получены корни:
=720°n ± 120°,
,
а ответ задачи дан в другой форме:
x=120°(2n +1).
Для того, чтобы убедиться в равносильности того и другого ответа, найдем сначала период уравнения (он равен 720°), а затем отыщем в обоих случаях корни, лежащие в пределах этого периода, то есть удовлетворяющие неравенству:
360°
.
Легко убедиться, что такими корнями в обоих случаях будут лишь ±120° и 360°. Совпадение корней, лежащих в пределах одного периода уравнения, указывает на равносильность обоих ответов.