Урок математики по теме "Проверка корней тригонометрического уравнения"

Из опыта подготовки учащихся к ЕГЭ, хотелось бы обратить внимание на проверку корней тригонометрического уравнения.

В 10 классе в связи с изучением периодичности тригонометрических функций важно привить учащимся навыки в нахождении периодов таких, например, несложных тригонометрических выражений, как sin 2x, cos (+30°), tg x, ctg 4x и т.д. Учащиеся должны вынести из 10 класса ясное представление о том, что периодом выражений sin (ax+b) и cos (ax+b) служит угол , a периодом выражений tg (ax+b) и ctg (ax+b) является угол . Все это нужно вновь напомнить учащимся в 11 классе.

В основу метода проверки корней тригонометрического уравнения следует положить понятие периода уравнения.

Пусть дано, например, уравнение:

 = .

Легко заметить, что периодом этого уравнения может служить угол 180°. Действительно,

cos 4(x+180°) = cos (4 x+2*360°) = cos 4 x,

sin 2(x+180°) = sin (2 x+360°) = sin 2 x и т.д.

Чтобы найти период тригонометрического уравнения, достаточно найти периоды каждой функции, входящей в это уравнение, а затем отыскать их наименьшее общее кратное.

Чтобы найти, пользуясь этим правилом, период вышеприведенного тригонометрического уравнения, надо рассуждать следующим образом: так как период каждой из функций sin 4x и cos 4x равен = 90°, а период каждой из функций sin 2x и cos 2x есть 360°/2 = 180°, то периодом уравнения будет наименьшее общее кратное углов 90° и 180°, то есть 180°.

Методику проверки корней тригонометрического уравнения хорошо уяснить на следующем примере.

Пример. Решить уравнение:

cos 2x +3sin x = 2 (1)

и проверить найденные корни.

Имеем:

(1 - 2x)+ 3 sin x = 2,

2 x - 3 sin x +1 = 0.

Отсюда,

sin =1, sin =1/2

=360°n + 90°,

=180°n + 30°.

Полученное множество корней бесконечно. Чтобы проверить все корни, достаточно произвести проверку только тех из них, которые лежат в пределах одного периода уравнения. Так как периодом уравнения (1) служит угол в 360°, то проверить нужно лишь корни, которые удовлетворяют неравенству:

-180°180°.

Если придавать n различные целые значения (положительные, отрицательные или нуль), то мы обнаружим лишь три корня, удовлетворяющие этому неравенству, а именно:

90°, 30°, 150°.

После подстановки их в исходное уравнение (1) найдем, что каждый из них обращает это уравнение в верное числовое равенство. Действительно,

cos 180° + 3 sin 90° = -1 + 3 = 2,

cos 60° + 3 sin 30° = += 2,

cos 300 + 3 sin 150° =+= 2.

Есть одно затруднение, с которым сталкиваются учащиеся при решении тригонометрических уравнений. Иногда общий вид углов, правильно найденный учеником при решении тригонометрического уравнения, не совпадает с общим видом углов, указанным в ответе к задаче. Если учитель не обращает на это внимание, то у ученика порой возникает необоснованное сомнение в правильности своего решения. Рассеять это сомнение можно только посредством доказательства, что множество всех корней , найденное учеником, и множество всех корней, определяемое общей формулой в ответе задачи, между собой совпадают. Допустим, что при решении уравнения

 - = cos

учеником получены корни:

=720°n ± 120°,

,

а ответ задачи дан в другой форме:

x=120°(2n +1).

Для того, чтобы убедиться в равносильности того и другого ответа, найдем сначала период уравнения (он равен 720°), а затем отыщем в обоих случаях корни, лежащие в пределах этого периода, то есть удовлетворяющие неравенству:

360°.

Легко убедиться, что такими корнями в обоих случаях будут лишь ±120° и 360°. Совпадение корней, лежащих в пределах одного периода уравнения, указывает на равносильность обоих ответов.