Открытый урок по теме "Теорема Пифагора"

Кобычева Марина Викторовна, учитель математики

Цель: познакомить учащихся с теоремой Пифагора, ее следствиями, применять их при решении задач; развивать кругозор учащихся, логическое мышление и интерес к предмету.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Устная работа

1. Какой треугольник изображен на рисунке?

2. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

3. Назовите катеты и гипотенузу?

4. Решив задачи, расшифруйте слово:

– АВС – прямоугольный, АС = 5, АВ = 20. Найти cos A.
– АВС – прямоугольный, ВС = 8, cos В = 0,8. Найти АВ.
– АВС – прямоугольный, СD – высота, АС = 20, АD = 16, DB = 9, CB = 15. Найти

а) cos A из ACD,
б) cos A из ABC,
в) cos B из ACD,
г) cos B из ABC.

5. Найдите неизвестный член пропорции:

П – ; И– 10; Ф – ; А – ; Г – ; О – ; Р – 3,6

Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до нашей эры. Сегодня вы познакомитесь с важной теоремой геометрии – теоремой Пифагора.

III. Историческая справка

Пифагор (580-500 гг. до н. э) родился на острове Самос вблизи Ионийского побережья. В молодости много путешествовал по Египту, посетил Вавилон и, наконец, в Кротоне, что в Южной Италии, основал тайное общество для высоких математических и духовных размышлений. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками; ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. До сих пор неизвестно, доказал ли ее сам Пифагор или кто-то из его учеников. Ведь все свои открытия они держали в тайне. Существует легенда о том, что пифагореец Гиппазий, разгласивший один из секретов союза, был казнен богами и погиб в море. Однако судьба самого Пифагора и его союза имела печальный конец. Пифагор был убит, а его ученики рассеялись по разным городам Греции, причем большинство их сосредоточилось в Афинах. Но учение Пифагора не погибло.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, что установить о Пифагоре правду невозможно.

IV. Изучение нового материала

1. Дан прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см, 10 см.
Рассмотрите числовые значения длин сторон. Возведите эти числа в квадрат. Заметьте, что 100=36+64,т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так звучит формулировка теоремы Пифагора.

2. Докажем эту теорему.

– Что дано?
– Что необходимо доказать?

Задавая ученикам наводящие вопросы, доказываем теорему.

CD – высота, ACD и BCD – прямоугольные.

– Чему равен cos A    из   ACD?       cos A=
– Чему равен cos A   из   ABC?        cos A=      =
– Вспомните основное свойство пропорции. Используя основное свойство пропорции, получим AC² = AD·AB.
– Чему равен cos B    из ACD?    cosB =
– Чему равен cos B   из ABC?       cosB =           =

BC² = BD·AB.

– Сложите полученные равенства.

AC² = AD · AB.
BC² = BD · AB.
AC² + BC² = AD·AB + BD · AB = AB · (AD + BD) = AB · AB = AB².

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

3. Следствия теоремы.

– Сравните длины гипотенузы и катетов. Вывод: « Любой катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы».
– Какие значения может принимать cos острого угла прямоугольного треугольника? Вывод: «Для любого острого угла ? cos ? < 1» Докажем это следствие.
cos A = , AC < AB, значит, дробь правильная, а она меньше 1, что требовалось доказать.

4. Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки. Техники и практической жизни. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка, или, как рассказывали другие, сто быков, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:

Пребудет вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

(А. Шамиссо)

V. Решение задач (учебник А.В.Погорелов «Геометрия 7-9 класс»)

1 уровень № 2(1), 3(1) – устно
2 уровень № 4
3 уровень (задача индийского математика 12 века Бхаскары)

На берегу реки рос тополь одинокий
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фунта была широка
Верхушка склонилась у края реки
Осталось три фунта всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?

VI. Тестирование

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти гипотенузу этого треугольника.