Урок изучения нового материала по теме "Производная показательной функции"

Цели:

• Образовательная: изучить формулу для вычисления производной показательной функции, показать ее применение при решении задач;
• Развивающая: продолжить развитие умений логически и аргументировано рассуждать, отработка навыков по конкретизации, развитие познавательного интереса к предмету.
• Воспитательная: воспитывать аккуратность, внимательность.

Схема урока:

I. Актуализация знаний

1. Мобилизующее начало урока (постановка цели).
2. Устная работа с целью актуализации опорных знаний.
3. Проверка домашнего задания фронтально с помощью ИКТ с целью подготовки изучения нового материала.
4. Подведение итогов I этапа и постановка задач на следующий.

II. Формирование новых знаний и способов действий.

1. Фронтальная работа учащихся по заполнению таблицы с целью раскрытия формулы производной показательной функции.
2. Беседа по итогам домашней работы и фронтальной работы в классе с целью раскрытия формулы производной показательной функции.
3. Первичное закрепление формулы фронтально.
4. Подведение итогов II этапа и постановка задач на следующий.

III. Формирование умений и навыков

1. Решение задачи фронтально учителем у доски.
2. Решение задачи фронтально учеником у доски.
3. Решение задачи с комментированием по цепочке.
4. Решение задач самостоятельно на местах и у доски с последующей проверкой фронтально.
5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

I. Актуализация знаний

1. Мобилизующее начало урока

– Какую тему мы закончили изучать на предыдущих уроках?
– Показательная и логарифмическая функция.
Выдающийся русский математик и кораблестроитель академик Алексей Николаевич Крылов (1863-1945г.) однажды заметил, человек обращается к математике « не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами. Ему прежде всего нужно ознакомиться со столетиями испытанными инструментами и научиться ими правильно и искусно владеть».
С одним из таких инструментов вы уже знакомы – это производная.
Теперь мы переходим к изучению производной показательной и логарифмической функции. Поэтому тема сегодняшнего урока: «Производная показательной функции». (Обозначение темы урока на доске). Мы должны изучить формулу для вычисления производной показательной функции и научиться применять её при вычислении производной различных функций.

2. Устная работа

– Что такое показательная функция?
– Это функция вида: у = а^х, а > 0 а ≠ 1.
– Что такое экспонента?
– Это функция вида: у = е^х, е ≈ 2,72.
– Приведите примеры зависимостей, которые описываются с помощью показательной функции.

Сообщения учащихся. (Приложение 1)

– Итак, мы видим, что очень часто показательная функция описывает реальные процессы. И как сказал один великий математик, механик, физик и астроном:
«Некоторые наиболее часто встречающиеся
виды трансцендентных функций прежде всего
показательные, открывают доступ ко многим
исследованиям».

– Кому принадлежат эти слова, я предлагаю ответить вам. Для этого вы должны выполнить 5 заданий. К каждому заданию предложены варианты ответов, зашифрованные буквами.

Правильное решение каждого задания позволяет открыть нужную букву фамилии ученого.

Найти производную функций:

1) у = 4х5 – х2	у' = 5х4 – 2х у' = 20х4 – 2х у' = 20х4 – х2	л э н
2) у = 2 sin x	у' = 2 cos x у' = – 2 cos x у' = cos x	й р ы
3) y = cos 2x	у' = – sin 2x у' = 2 sin 2x у' = –2 sin 2x	а н л
4) у = (х + 1)•(х – 2)	у' = 2х – 1 у' = – 1 у' = 2	е о р

5) Найти производную функции в точке х = 0.

у' = 1 у' = у' =

и р к

Эталон ответа. (Приложение 2)

– Итак, фамилия ученого Эйлер, а мы тем самым повторили основные правила нахождения производной, геометрический смысл производной.

3. Проверка домашнего задания в форме беседы.

– Что было задано на дом?
– Дома надо было сделать практическую работу, которая состоит в следующем:

1. Построить графики функций:

у = 2^х, у = 2,3^х, у = 3^х, у = 3,4^х.

2. Провести касательную к графику в точке х = 0.

3. Измерить угол наклона касательной к положительному направлению оси 0х.

– Проверьте, у всех ли графики функций построены правильно. У кого не так исправьте.

На экране образцы построенных графиков функций:

у = 2^х, у = 2,3^х, у = 3^х, у = 3,4^х.

Эталоны ответов. (Приложение 6)

– Какие получились углы наклона касательных к положительному направлению оси х?

Выслушиваются мнения учащихся и после обсуждения приходим к единому решению: 35^o, 40^o, 48^o, 51^o.

– Давайте найдем тангенсы измеренных углов.

Оказывается:

tg 35^o = 0,7
tg 40^o = 0,839
tg 48^o = 1,11
tg 51^o = 1,235

– Что же такое тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке х = 0 к положительному направлению оси х?
– Это производная функции в точке х = 0, т.е. у' (0).

4. Итак, проверив домашнее задание мы нашли у' (0).

– А чему же равны производные этих функций в общем виде? Мы не знаем.
– Поэтому сегодня перед нами стоит задача найти формулу для вычисления производной показательной функции.

II. Формирование новых знаний и способов действий

1. Фронтальная работа

– Для того чтобы решить поставленную задачу я предлагаю вам заполнить таблицу.

Заполняется устно под руководством учителя.

Эталон ответа. (Приложение 3)

2. Фронтальная беседа.

– Сравните результаты, полученные в последней колонке со значениями тангенсов, измеренных углов.
– Они приблизительно одинаковые, т.е. для каждой из функций значение тангенса полученного угла наклона касательной к положительному направлению оси 0х ? ах • ?n a.
– Чему равен тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в заданной точке?
– Он равен производной функции в этой точке.
– Значит, естественно предположить, что:

(2^х)' = 2^х • ln 2
(2,3^х)' = 2,3^х • ln 2,3
(3^х)' = 3^х • ln 3
(3,4^х)' = 3,4^х • ln 3,4 т.е. в общем случае (а^х)' = а^х • ln а

3. Как найти производную показательной функции у = а^х?
– По формуле (а^х)' = а^х • ln а.

4. Итак, мы узнали формулу для вычисления производной показательной функции, а теперь мы будем учиться применять ее для вычисления производных различных функций.

III. Формирование умений и навыков

Решение задач.

1. Фронтально учителем у доски: у = х² • 4^х

2. Фронтально учеником у доски: у = 2^х – 4х³

3. С комментированием по цепочке: у = х² + е^2х

Эталоны ответов. (Приложение 4)

4. Самостоятельно на местах и у доски с последующей проверкой фронтально.

I вариант y = eх • sin x

II вариант y = eх • cos x

Эталон ответов. (Приложение 5)

5. – Итак, что мы сегодня нового узнали?
– Как вычисляется производная показательной функции.
– По какой формуле вычисляется производная показательной функции?
– (а^х)' = а^х • ln a

6. Задание на дом: п.41 стр. 241-243

«3» – Найти производные функций

y = 3 • e^х + 2,
y = 5^х – 4x⁵,
y = 2^х • cos x

«4; 5» – Написать уравнение касательной к графику функции

у = 2 • 3^х,
х₀ = 1.

В заключение урока звучит стихотворение американского математика Мориса Клайна. (Приложение 7)

Литература:

1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.
2. Ивлев Б.М., Саакян С.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 кл. М.: Просвещение – 2007.
3. Дорофеев Г.В. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы» – М.: Дрофа, 2007.
4. Башмаков М.И.Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 кл. – М.: Просвещение, 1993.
5. http://900igr.net/kartinki/mkhk/Iskusstvo-krasoty/040-Muzyka-mozhet-vozvyshat-ili-umirotvorjat- dushu-zhivopis-radovat.html