Цели урока:
- Образовательные:
- познакомить студентов с понятием система счисления;
- ознакомить с типами систем счисления;
- формирование умений и навыков по решению задач на представление чисел в различных системах счисления.
- Развивающие:
- развитие логического мышления, умения анализировать, обобщать и делать выводы, развитие кругозора учащихся;
- формирование информационной культуры и потребности приобретения знаний.
- Воспитательные:
- привитие учащимся навыка самостоятельности в работе,
- воспитание трудолюбия, чувства уважения к науке.
Тип урока: урок сообщения новых знаний.
Методы обучения: словесные, наглядные.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
- Приветствие
- Фиксация отсутствующих
2. Изучение новых знаний
Системы счисления и взаимосвязь между ними.
В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления.
Довольно широко была распространена двенадцатеричная система счисления. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т.п.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году – 12. эта система счисления сохранилась в английской системе мер (1 фут = 12 дюймам) и денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсов).
В древнем Вавилоне существовала сложная шестидесятеричная система счисления. Она, как и двенадцатеричная, в какой-то мере сохранилась до наших дней, так 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, 1 градус = 60 минутам.
У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления; у ацтеков и народов майя – двадцатеричная.
Десятичная система счисления возникла в Индии, затем ее стали называть «арабской» потому, что в Европу она была перенесена арабами. Цифры, которыми мы сейчас пользуемся – арабские.
В разное время существовали другие записи цифр, в настоящее время почти забытые. Однако, мы иногда встречаемся с записью чисел с помощью римского алфавита (циферблат часов; в книгах, деловых бумагах для обозначения глав и частей; обозначение месяцев и т.п.).
Система счисления – это совокупность приемов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения.
В зависимости от способов изображения чисел цифрами системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.
Непозиционной системой счисления называется такая система счисления, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ею позиции (места) в изображении числа, а определяется лишь самим символом (цифрой).
Примером такой системы может являться римская система счисления, в которой для обозначения чисел используются буквы римского алфавита. Например, число ХХХ содержит во всех разрядах один и тот же символ Х, который означает 10 единиц независимо от его позиции в изображении числа. Для записи больших чисел в такой системе счисления необходимо постоянно вводить новые знаки, кроме этого невозможно представлять дробные и отрицательные числа, поэтому непозиционные системы счисления не используются для выполнения арифметических действий.
Для этого используются позиционные системы счисления. Их основные достоинства– простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.
Позиционной системой счисления (ПСС) называется такая система счисления, в которой количественное значение каждой цифры зависит от ее позиции (места) в числе.
Примером может служить обычна (арабская) десятичная система счисления. Например, число 373, представленное в десятичной системе счисления, имеет в младшем и самом старшем разрядах цифру 3. Цифра 3 в старшем разряде имеет вес в 100 раз больше, чем в младшем разряде.
Основанием позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
За основание ПСС можно принять любое число, не меньшее 2. как правило наименование ПСС соответствует ее основанию (десятичная, двоичная и т.п.)
Таким образом, в ПСС любое число м.б. представлено в виде следующей суммы (формула разложения):
Ap =anpn+an–1pn–1+…+a0p0+a–1p–1+…+a–mp–m, где
| A | – изображение числа; |
| p | – основание ПСС; |
| an,…,a–m | – цифры (символы), принадлежащие данной ПСС; |
| n,…,–m | – вес разрядов. |
В повседневной жизни мы пользуемся свернутой формой записи
Ap=±anan–1…a1,a0,a–1…a–m, называемой цифровой.
Пример 1: Используя эту формулу, десятичное число A10=123,45 можно представить в виде суммы:
123,4510 = 1 * 102 + 2 * 101 + 3 * 100 + 4 * 10–1 + 5 * 10–2 = 100 + 20 + 3 + 0,4 + 0,05.
От выбора системы счисления при проектировании ЭВМ зависят такие ее характеристики, как скорость вычислений, объем памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций. С точки зрения технической реализации наилучшей является двоичная система счисления, т.к. для построения ЭВМ широко используются двухпозиционные элементы.
Двоичная система счисления (р = 2, ai = 1; 0) является основной системой счисления в ЭВМ, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования информации в устройствах ЭВМ.
В табл. 1 показано соответствие записи чисел в десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
Таблица 1
Любое число из двоичной системы счисления может быть переведено в десятичную при помощи формулы разложения.
Пример: 10001012 = 1 * 26 + 0 * 25 + 0 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 64 + 4 + 1 = 6910.
Достоинства двоичной системы:
1. Элементная база современных ЭВМ в основном
состоит из цифровых интегральных схем, которые
передают двоичный сигнал 0 и 1.
2. Арифметические операции выполняются наиболее
просто.
3. Процесс создания схем ЭВМ упрощен, т.к.
обозначение переменных и функций в используемом
аппарате алгебры логики, принимающих два
значения («истина» или «ложь»), совпадает с
двоичными цифрами (1 или 0).
Основными недостатками двоичной системы являются громоздкость записи чисел и трудность их восприятия человеком. Чтобы избавиться от этих недостатков, необходимо переводить исходные данные (числа) из десятичной системы в двоичную, а результаты – из двоичной в десятичную систему. Такие операции выполняются ЭВМ по специальным программам с использованием двоично-десятичной системы счисления.
Двоично-десятичная система счисления имеет основание р=10 и каждая цифра (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) изображается в этой системе счисления четырехразрядным двоичным числом, называемым тетрадой. Она используется в ЭВМ не только в качестве вспомогательной системы счисления при вводе и выводе данных, но и в качестве основной при решении задач, когда в ЭВМ вводится и выводится большое количество чисел, а вычислений над ними производятся мало. Преобразования чисел из десятичной системы счисления в двоично-десятичную не связаны с вычислениями и легко реализуются при помощи простейших электронных схем, поскольку преобразованию подлежит небольшое количество (четыре) двоичных цифр. Двоично-десятичные числа преобразуются в десятичные автоматически в ЭВМ по особой программе перевода.
Для предоставления служебной информации – программ при подготовке задач к решению на ЭВМ – применяют вспомогательные системы счисления – восьмеричную систему счисления (р=8, аi=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и шестнадцатеричную систему счисления (р=16, аi=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(13), D(14), E(15), F(16)).
Любое из этих чисел, также как и двоичное, м.б. представлено с помощью формулы разложения десятичным эквивалентом.
Пример: 726,158 = 7 * 82 + 2 * 81 + 6 * 80 + 1 * 8–1 + 5 * 8–2 = 448 + 16 + 6 + 1/8 + /64 = 470 13/6410.
Пример: 10А,F16 = 1 * 162 + 0 * 161 + 10 * 160 + 15 * 16–1 = 256 + 10 + 15/16 = 266 15/1610.
Запись команд программы в восьмеричной системе счисления в три раза короче, чем в двоичной.
Шестнадцатеричная система счисления, также как и восьмеричная. Используется при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд. Кроме того, в некоторых ЭВМ шестнадцатеричная система счисления применяется для представления чисел в полулогарифмической форме.
Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую
Как правило, при операциях вычисления используются целые, дробные и смешанные числа.
Перевод целых чисел.Чтобы перевести целое число из одной ПСС с основанием р в другую с основанием q необходимо:
1. Последовательно делить это число и
получаемые частные на основание q новой
системы до тех пор, пока не получим частное,
меньшее делителя (основания q).
2. Полученные остатки, являющимися цифрами числа
в новой системе счисления, привести в
соответствие с алфавитом новой ПСС.
3. Составить число в новой системе счисления,
записывая его, начиная с последнего остатка.
Пример: Перевести число десятичное 17310 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную ПСС.
17310 = 101011012 17310 = 2558; 17310 = AD16.
Перевод дробных чисел. Чтобы перевести правильную дробь из одной ПСС с основанием р в другую с основанием q необходимо:
1. Последовательно умножать данное число и
получаемые дробные части произведений на
основание q до тех пор, пока дробная часть
произведения не станет равной нулю или будет
достигнута требуемая точность представления
числа.
2. Полученные целые части произведений,
являющиеся цифрами числа в новой системе
счисления, привести в соответствие с алфавитом
новой ПСС.
3. Составить дробную часть числа в новой системе
счисления, начиная с целой части первого
произведения.
Пример: Перевести число десятичное 0,6562510 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную ПСС.
0,6562510 = 0,101012 0,6562510 = 0,528; 0,6562510 = 0,A816.
Перевод смешанных чисел. Перевод смешанных чисел, т.е. содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.
Пример: Перевести число 17,2510 в двоичную систему счисления.
| Переводим целую часть: 1710 = 100012 | Переводим дробную часть: 0,2510 = 0,012 |
Получаем: 17,2510 = 10001,012.
Пример: Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему счисления.
| Переводим целую часть: 12410 = 1748 | Переводим дробную часть: 0,2510 = 0,28 |
Получаем: 124,2510 = 174,28.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 2n.Если основание q-ичной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ичной системы счисления в двоичную и обратно можно проводить по более простым правилам.
Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2n, нужно:
1. Разбить двоичное число справа налево на
группы по n цифр в каждой.
2. Если в последней левой группе окажется меньше n
разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до
нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как п-разрядное
двоичное число и записать ее соответствующей
цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Пример: Число 1011000010001100102 перевести в восьмеричную систему счисления.
Разбиваем число справа налево на группы по три символа (8 = 23) и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:
| 101 | 100 | 001 | 000 | 110 | 010 |
| 5 | 4 | 1 | 0 | 6 | 2 |
Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628.
Пример 6: 10000000001111100001112 = 200F8716:
| 0010 | 0000 | 0000 | 1111 | 1000 | 0111 |
| 2 | 0 | 0 | F | 8 | 7 |
Для того, чтобы дробное двоичное число записать в записать в системе счисления с основанием q = 2n, нужно:
1. Разбить двоичное число слева направо на
группы по n цифр в каждой.
2. Если в последней правой группе окажется меньше n
разрядов, то ее надо дополнить справа нулями
до нужного числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как п-разрядное
двоичное число и записать ее соответствующей
цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.
Пример: 0,101100012 = 0,5428, 0,1000000000112 = 0,80316.
Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2n, нужно:
1. Целую часть двоичного числа разбить справа
налево, а дробную – слева направо на группы по n
цифр в каждой.
2. Если в последней левой и/или правой группах
окажется меньше n разрядов, то их надо
дополнить слева и/или справа нулями до нужного
числа разрядов.
3. Рассмотреть каждую группу как п-разрядное
двоичное число и записать ее соответствующей
цифрой в системе счисления с основанием q = 2n.
Пример: 111100101,0111002 = 745,348, 11101001000,110100102 = 748,D216.
Перевод чисел из систем счисления с основанием q = 2n в двоичную систему счисления. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2n, перевести в двоичную систему, нужно каждую цифру этого числа заменить ее п-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Пример: 4АС3516 = 10010101100001101012:
| 4 | А | С | 3 | 5 |
| 0100 | 1010 | 1100 | 0011 | 0101 |
3. Решение задач
Заполнить таблицу:
| А10 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| А2 | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| А8 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| А16 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
4. Подведение итогов занятия
- Общая характеристика группы.
- Вскрытие недостатков группы.
- Выставление оценок за урок.
- Рекомендации
5. Домашнее задание
1. Конспект
2. Решение примеров
Задания:
1. Перевести данное число из десятичной системы
счисления в двоичную, восьмеричную и
шестнадцатеричную системы счисления.
2. Перевести данное число в десятичную систему
счисления.
3. Сложить числа.
4. Выполнить вычитание.
5. Выполнить умножение.
6. Выполнить деление.
Примеры:
1. а) 666(10); б) 305(10); в) 153,25(10);
2. а) 1100111011(2); б) 10000000111(2); в) 10110101,1(2)
3. а) 10000011(2) + 1000011(2); б) 1010010000(2) +
1101111011(2); в) 110010,101(2) + 1011010011,01(2);
4. а) 100111001(2) – 110110(2); б) 1111001110(2) –
111011010(2); в) 1101111011,01(2) – 101000010,0111(2)
5. а) 1100110(2) . 1011010(2); б)
2001,6(8) . 125,2(8); в) 2C,4(16)
. 12,98(16).
6. а) 110011000(2) : 10001(2); б) 2410(8) :
27(8); в) D4A(16) : 1B(16);
6. Рефлексия деятельности
| 1. На уроке я работал 2. Своей работой на уроке я 3. Урок для меня показался 4. За урок я 5. Мое настроение 6. Материал урока мне был 7. Домашнее задание мне кажется |
активно / пассивно доволен / не доволен коротким / длинным не устал / устал стало лучше / стало хуже понятен / не понятен полезен / бесполезен интересен / скучен легким / трудным интересно / не интересно |