Теорема Пифагора

Цель урока: изучение теоремы Пифагора и ее применение.

Задачи:

• Познакомить учащихся с жизнью Пифагора, его школой.
• Доказать теорему и показать различные способы доказательства.
• Показать применение теоремы  в жизни
  (флеш-проекты учащихся).
• Развивать логическое мышление, самостоятельность и воображение учащихся.
• Поддерживать интерес к предмету.

Оборудование и материалы: мультимедийный проектор, РС, учебник, раздаточный материал презентация к уроку и флеш проекты учащихся.
Особенностью урока является то, что он  базируется на флеш – проектах учащихся.с использованием РС.

ХОД УРОКА

«Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!»

1. Пифагор Самосский и история  доказательства  теоремы (5 мин.)  (слайды 5-9)

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко недостоверны. С его именем связано много легенд.
Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет, Индию и Вавилон, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний.
В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрел 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими женами и детьми образовали громадную школу. Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Так художник Ф.А. Бронников (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу»
В Греции была выпущена почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. 
На марке надпись: «Теорема Пифагора. Эллас. 350 драхм».
Эта красивая марка – почти единственная среди многих тысяч существующих, на которой изображен математический факт Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор – "убеждающий речью".)
Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков .

2. Различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков (3 мин.) (слайды 10-16)

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:
"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".
В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так:
Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает:
"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".
Современная формулировка теоремы Пифагора  «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

3. Доказательсто теоремы Пифагора (5 мин.)  (слайды 17-20)

Доказательство:

1. (а + b)² = 4S + c²
2. 4S = 4 · 1/2 ab = 2 ab
3. а² + 2ab + b² = 2ab + c²
4. а² + b² = c²

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство “убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозваны по этому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

4. Примеры различных способов доказательства теоремы (5 мин.) (слайды 21-29)

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен (по другим источникам, более пятисот), но стремление к преумножению их числа сохранилось. Поэтому теорема Пифагора занесена в «Книгу рекордов Гиннеса».

• Древнекитайское доказательство.
• Доказательство Евклида.
• Доказательство Вальдхайма
• Доказательство Хоукинса.
• Доказательство Гутхейля.
• Доказательство  Перигаля.
• Доказательство основанное на теории подобия.
• Луночки Гиппократа.
• Доказательство на китайском, 1670 г.
• Доказательство из сочинений Бхаскары.
• Доказательство – модель (видеоролик).

5. Примеры  применения  теоремы Пифагора на практике (18 мин.) (слайды 30-31)  

Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагуТеорема Пифагора – одна из самых главных теорем геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем. Сама же теорема

• в планиметрии
• в стереометрии
• в архитектуре
• в строительстве
• в физике
• в астрономии
• в литературе

В планиметрии:

1. Квадрат со стороной а и диагональю d.

Рассмотрим применение теоремы Пифагора для нахождения диагонали квадрата со стороной а.
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, тогда  d² = a² + a² откуда: d² = 2a² d = а 2

2. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b.
По теореме Пифагора: d² = a² + b²

Рассмотрим пример вычисления диагонали прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см.

3. Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом по теореме Пифагора

а² = h² + (1/2a)²
h² = a² – (1/2a)²  h = 1/2a3

Рассмотрим пример вычисления длины высоты в равностороннем треугольнике со стороной 4 см.

В стереометрии:

Вычисление длины диагонали прямоугольного параллелепипеда

В архитектуре:

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b/2 и r = b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2 – p.
По теореме Пифагора имеем: (b/4 + p)² = (b/4)² + (b/2 – p)²
Решив данное уравнение, легко найти радиус внутренней окружности р = b/6

В строительстве:

Возможно, кто-то сочтёт приложения теоремы Пифагора сугубо теоретическими. Но это не так. Если, например, рассматривать треугольную призму  как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идёт о том, какой длины нужно сделать боковые рёбра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши. Заметим, что расчёт площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит:
Чтобы найти площадь поверхности двухскатной крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить площадь чердака Sч на длину стропила и разделить на половину ширины дома.
Например, при строительстве любого сооружения рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д. В целом значение теоремы кроме вышесказанного в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

В физике:

Молниеотвод, громоотвод, устройство для защиты зданий, промышленных, транспортных, коммунальных, с-х. и других сооружений от ударов молнии.  
Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

• По теореме Пифагора h² > a² + b²,
• значит h >  a² + b²

В астрономии:

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. Это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными)и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100 000 франков  тому, кто первый установит связь с каким – нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса Световой сигнал  в виде теоремы Пифагора.
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора,  имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

В литературе:

Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему, но мало кто знает, что он имел отношение не только к математике, но и к литературе....
Великий математик был еще и великим философом своего времени
Вот некоторые его высказывания:

• Делая великое, не обещай великого.
• Как ни коротки слова «да» и «нет», все же они требуют самого серьезного размышления.
• Ни  делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни в тайне.
• Первым твоим законом должно быть уважение к самому себе
• Не закрывай глаз, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за прошедший день.
• По торной дороге не ходи.

Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни.
О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист o Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.
Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле "Рюрик", написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать.
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

6. Легенда о смерти Пифагора

Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле старца, и неподалеку от него – мальчик 12 с лицом, перекошенным от ужаса.
– Кто это? – спросил начальник караула у мальчика
– Это Пифагор, – ответил тот.
– Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем.
– Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили.
– Сколько их было?
– Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил руки к груди старца.
– Конец, – сказал начальник.
«Одному только разуму, как мудрому попечителю, должно вверять свою жизнь»

7. Подведение итогов урока. Тест (3 мин)

Учащиеся отвечают на вопросы:

• Теперь я узнал, что…
• Теперь я могу…
• Раньше я не понимал как…
• Раньше я не знал, что…
• Теперь я знаю, что

 Тест:  (слайды 32-34)

– К каким треугольникам можно применить теорему Пифагора?

Выберите правильный вариант   формулировки теоремы Пифагора:

1. В треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
2. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме катетов.
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равен сумме квадратов катетов.
4. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

– Верно ли, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы?

8. Задание на дом (1 мин.) (слайды 35-37)

1. Выучить формулировку теоремы
2. Уметь доказывать теорему Пифагора
3. Выучить стихотворение

Раздаточный материал:

Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.