Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью числовой окружности

Тип урока: Урок повторения, обобщения и систематизации изученного материала.

Цель урока:

• образовательная: закрепить умение выполнять отбор корней тригонометрического уравнения на числовой окружности; стимулировать учащихся к овладению рациональными приёмами и методами решения тригонометрических уравнений;
• развивающая: развивать логическое мышление, умение выделять главное, проводить обобщение, делать верные логические выводы;
• воспитательная: воспитание таких качеств характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемной ситуации.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер.

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка готовности к уроку, приветствие.

II. Постановка цели. 

Французский писатель Анатоль Франс однажды сказал: «…Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.» Так давайте сегодня последуем этому мудрому совету и будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в ближайшее время на ЕГЭ.

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки отбора корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности. Окружность удобно использовать как при отборе корней на промежутке, длина которого не превышает 2π, так и в случае, когда значения обратных тригонометрических функций не являются табличными. При выполнении заданий будем применять не только изученные методы и способы, но и нестандартные подходы.

III. Актуализация опорных знаний.

Устно:

1. Решите уравнение: (Слайд 3-5)

a) cosx = 0
б) cosx = 1
в) cosx = - 1
г) sinx = 1
д) sinx = 0
е) sinx = - 1
ж) tgx = 1
з) tgx = 0

2. Заполните пропуски: (Слайд 6)

sin2x =
cos2x =
1/cos²x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =

3. Покажите на числовой окружности следующие отрезки (Слайд 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], [2π; 7π/2], [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],[3π; 9π/2], [-4π; -5π/2].

4. Применяя теорему Виета и её следствия, найдите корни уравнений: (Слайд 8)

t²-2t-3=0; 2t²-3t-3=0; t²+4t-5=0; 2t²+t-1=0; 3t²+7t=4=0; 2t²-3t+1=0

IV. Выполнение упражнений.

(Слайд 9) 

Многообразие методов преобразований тригонометрических выражений подталкивает нас к выбору более рационального из них.

1. Решите уравнения: (Один ученик решает на доске. Остальные участвуют в выборе рационального метода решения и записывают в тетрадь. Учитель следит за верностью рассуждений учащихся.)

1) 2sin³x-2sinx+cos²x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; - 2π].

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]

Получим числа: - 7π/2; -19π/6;-5π/2.

Ответ: а)π/2+πn, π/6+2πn, 5π/6+2πn, nЄZ; б) - 7π/2, -19π/6,-5π/2.

2) sin²x-2sinx∙cosx-3cos²x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].

Решение.

a) Разделим обе части уравнения на cos²x=0. Получим:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2]

Получим числа: - π+arctg3; -π/4;arctg3.

Ответ: а) -π/4+πn, arctg3+πn, nЄZ; б) - π+arctg3, -π/4,arctg3.

3) 2sin²x-3cosx-3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [π; 3π].

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]

Получим числа: π; 4π/3; 8π/3;3π.

Ответ: а) π+2πn, ±2π/3+2πn, nЄZ; б) π, 4π/3, 8π/3,3π.

4) 1/cos2x +4tgx - 6=0 .Укажите корни, принадлежащие отрезку [2π;7π/2] .

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [; 7π/2]

Получим числа: 9π/4; 3π-arctg5;13π/4.

Ответ: а)π/4+πn, -arctg5+πn, nЄZ; б) 9π/4, 3π-arctg5, 13π/4.

5) 1/cos²x + 1/sin(x – π/2) = 2. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2 π; -π/2]

Получим числа: -5π/3;-π.

Ответ: а)π+2πn, ±π/3+2πn, nЄZ; б) -5π/3;-π.

2. Работа в парах: (Двое учащихся работают на боковых досках, остальные в тетрадях. Затем задания проверяются и анализируются.)

Решите уравнения:

Решение.

Учитывая, что tgx≠1 и tgx>0, отберём корни с помощью числовой окружности. Получим:

x =arccos√2/3+2πn,nЄZ.

Ответ: arccos√2/3+2πn,nЄZ.

6соs2x-14 cos²x - 7sin2x = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; - π/2].

Решение.

a) 6(cos²x-sin²x)-14cos²x-14cosxsinx=0; 6cos²x-6sin²x-14cos²x-14cosxsinx=0;

3sin²x+7cosxsinx+4cos²x=0 Разделим обе части уравнения на cos²x=0. Получим:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π/2; -π/2]

Получим числа: -5π/4;-π-arctg4/3.

Ответ: а)-π/4+πn, -arctg4/3+πn, nЄZ; б) -5π/4, -π-arctg4/3.

 3. Самостоятельная работа. (После выполнения работы учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работу своего одноклассника, исправляя ошибки ( если таковы есть ) ручкой с красной пастой.)

Решите уравнения:

1) 2cos²x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

Решение.

a) 2(1-sin²x)+2sinx-√2sinx+√2-2=0; 2-2sin²x+2sinx-√2sinx+√2-2=0; -2sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-3π; -2π].

Получим числа: -11π/4;-9π/4.

Ответ: а) π/2+2πn, -π/4+2πn, -3π/4+2πn, nЄZ; б) -11π/4, -9π/4.

2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Укажите корни, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2]

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Получим числа: 13π/4;3π;4π.

Ответ: а)πn, ±3π/4+2πn, nЄZ; б) 13π/4,3π, 4π.

3)1/tg²x – 3/sinx+3=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]

Решение.

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4π;-5π/2].

Получим числа: -19π/6;-7π/2;-23π/6.

Ответ: а)π/2+2πn, π/6+2πn, 5π/6+2πn, nЄZ; б)-19π/6,-7π/2,-23π/6.

V. Подведение итогов урока.

Отбор корней в тригонометрических уравнениях требует хороших знаний формул, умений применять их на практике, требует внимания и сообразительности.

VI. Стадия рефлексии.

(Слайд 10)

На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме

выразить своё отношение к изучаемому материалу.

Например:

Окружность.
Числовая, тригонометрическая.
Изучим, поймем, заинтересуемся.
Присутствует в ЕГЭ.
Реальность.

VII. Домашнее заданиe.

1. Решите уравнения:

1. cos6x-cos3x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [0; 2π] .
2. сos4x-sin2x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [2; 4 π] .
3. (6sin2x+13sinx+5)∙=0.
4. |cosx|-cosx=2sinx.

2. Практическое задание.

Составьте по два тригонометрических уравнения, содержащих формулы двойного аргумента.

VIII. Литература.

ЕГЭ-2013: Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий/ авт.-сост. И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий; под ред. А.Л. Семёнова, И.В. Ященко – М.:АСТ: Астрель, 2013.