1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СПОСОБЫ ЕЕ ЗАДАНИЯ
Определение 1
Функцию вида 
, 
I N называют
функцией натурального аргумента или числовой
последовательностью и обозначают 
или 
.
Обозначение: 
.
Способы задания последовательностей:
Словесный – правило задания последовательности описано словами, без указания каких – то формул.
ПРИМЕР 1. Задана последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Аналитический – последовательность задана формулой ее n – го члена.
ПРИМЕР 2. Задана последовательность 
: 1, 4, 9, 25, 36, 49, …, n2,
…
Рекурентный – указано правило, позволяющее вычислить n – ый член последовательности, если известны ее предыдущие члены.
ПРИМЕР 3. Задана последовательность соотношениями: а = а1, аn + 1 = an + d, где a и d – некоторые числа, d – разность арифметической прогрессии.
2. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Определение 2
Последовательность называют ограниченной сверху,
если все ее члены не больше некоторого числа.
Последовательность ограничена сверху, если существует
число М такое, что для любого n
выполняется 
<
М. Число М называют верхней
границей последовательности.
ПРИМЕР 4. Последовательность –1; –4; –9; –16; …; –n2; ….ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число –1 или любое число, которое больше, чем –1, например 0.
–16 –9 –4 –1 0 х
Определение 3
Последовательность называют ограниченной снизу,
если все ее члены не меньше некоторого числа.
Последовательность ограничена снизу, если существует
число m такое, что для любого n
выполняется уn > m.
Число m называют нижней границей
последовательности.
ПРИМЕР 5. Последовательность 1; 4; 9; 16; …; n2; … ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше, чем 1, например 0.
1 4 9 16 х
Определение 4
Последовательность называют ограниченной,
последовательность ограничена и сверху, и снизу.
ПРИМЕР 6. Последовательность 1; 
; 
; 
; …; 
; ….
Эта последовательность ограничена и сверху, и
снизу. В качестве верхней границы можно взять
число 1, в качестве нижней границы – число 0.
0
Определение 5
Последовательность ( уn ) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего: у 1 < у 2 < у 3 < у 4 < … < уn < уn+ 1 < ….
ПРИМЕР 7. Последовательность 1, 3, 5, 7, …, 2n – 1; … – возрастающая.
Определение 6
Последовательность ( уn ) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: у 1 > у 2 > у 3 > у 4 > … > уn > уn+ 1 > …
ПРИМЕР 8. Последовательность 1; ; ; ; …; ; … –
убывающая.
Если а > 1, то последовательность уn = аn возрастает; если 0 < а < 1, то последовательность уn = аn убывает.
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Определение 7
Последовательность, члены которой не изменяются с изменением номера, называется постоянной (или стационарной).
ПРИМЕР 9. Последовательность 1; 1; 1; 1; 1; … – постоянная (или стационарная).