Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Разделы: Математика


1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СПОСОБЫ ЕЕ ЗАДАНИЯ

Определение 1

Функцию вида , I N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают или   .
Обозначение: .

Способы задания последовательностей:

Словесный – правило задания последовательности описано словами, без указания каких – то формул.

ПРИМЕР 1.   Задана последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Аналитический – последовательность задана формулой ее n – го члена.

ПРИМЕР 2.   Задана последовательность : 1, 4, 9, 25, 36, 49, …, n2, …

Рекурентный – указано правило, позволяющее вычислить n – ый член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

ПРИМЕР 3.    Задана последовательность соотношениями: а = а1аn + 1 = an + d,  где a и d – некоторые числа, d – разность арифметической прогрессии.

2. СВОЙСТВА ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Определение 2

Последовательность  называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Последовательность  ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется  < М. Число М называют верхней границей последовательности.

ПРИМЕР 4.    Последовательность  –1; –4; –9; –16; …; –n2; ….ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число –1 или любое число, которое больше, чем –1, например 0.


             –16              –9          –4      –1  0                   х

Определение 3

Последовательность  называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Последовательность  ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется  уn > m. Число m называют нижней границей последовательности.

ПРИМЕР 5.    Последовательность  1; 4; 9; 16; …; n2; … ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше, чем 1, например 0.

  
               1      4          9              16                                х

Определение 4

Последовательность  называют ограниченной, последовательность ограничена и сверху, и снизу.

ПРИМЕР 6.    Последовательность  1; ; ; ; …; ; …. Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы – число 0.

 
   0                                                 1            х

Определение 5

Последовательность ( уn ) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего: у 1 < у 2 < у 3 < у 4 < … < уn < уn+ 1 < ….

ПРИМЕР 7.   Последовательность  1, 3, 5, 7, …, 2n – 1; … – возрастающая.

Определение 6

Последовательность ( уn ) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: у 1 > у 2 > у 3 > у 4 > … > уn > уn+ 1 > …

ПРИМЕР 8.   Последовательность  1; ; ; ; …; ; … – убывающая.

Если а > 1, то последовательность уn = аn возрастает; если 0 < а < 1, то последовательность  уn = аn  убывает.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Определение 7

Последовательность, члены которой не изменяются с изменением номера, называется постоянной (или стационарной).

ПРИМЕР 9.   Последовательность  1; 1; 1; 1; 1; … – постоянная (или стационарная).

Приложение