Урок алгебры по теме "Иррациональные уравнения"

Разделы: Математика

Оборудование: доска, мел, раздаточный материал (задание на урок, карточки с самостоятельной и домашней работами).

Предварительная работа: отбор материала, подготовка устного счета.

Цели:

  • Обучающие:
    • повторение теории и закрепление навыков работы с иррациональными уравнениями, используя различные методы их решения;
    • проверка степени закрепления учебного материала по теме «Иррациональные   уравнения».
  • Воспитательные:
    • расширение кругозора учащихся, формирование грамотной математической речи;
    • развитие мыслительной деятельности и настойчивости;
    • активизация интереса к предмету через решение задач  разными способами.

ХОД УРОКА

I. Устная работа

1. Какое уравнение называется иррациональным?
2. Каково условие существования корня четной степени?
3. Какие методы решения иррациональных уравнений вам встречались на
предыдущих уроках?
4. Всегда ли обязательно нахождение ОДЗ переменной уравнения? Почему?
5. Что произойдет с ОДЗ переменной выражения, если ее заменить:

1)  на
2)  на 
3)  на   (y

6. Решите уравнение методом  «пристального взгляда»:

1) +10= 0
2)  =
3)  = 12
4)  +=
5)  –= –

7. Почему второе уравнение является следствием первого?

1) (5 + х) = х + 5 и = 1
2) = 2 и = 2
3) = 3 и = 3
4) =  и (3 + х) = (3 – х)

II.  Решение уравнений

1) + = 5

ОДЗ: х > – 3

Функция у = +  возрастает на всей области допустимых значений, а монотонная функция принимает каждое свое значение один раз. Значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное. Подбором корень легко находится. Это х=1.

Ответ: х = 1.

2)  – = 0

Решим уравнение возведением обеих частей в шестую степень.

()6 = ()6                     ОДЗ:  х >–
(х + 2)3 = (3х + 2)2
х3 + 6х2 + 12х + 8 = 9х2 + 12х + 4
х3 – 3х2 + 4 = 0
х2(х – 2) – (х – 2)(х + 2) = 0
(х – 2)(х2 – х – 2) = 0
х = 2 или х = 2 или х = – 2 – не подходит по ОДЗ.

Ответ: х = 2.

3) = 3х – 2

Решим уравнение графически.

Функция у =  нечетная, ее график симметричен относительно начала координат, расположен в 1 и 3 координатных четвертях.

Функция у = 3х – 2 линейная, графиком является прямая.

Строим графики обеих функций.

Графики пересеклись в точке с абсциссой равной 1. Это и есть корень уравнения.

Ответ: х = 1.

4) += 4

Решим уравнение заменой.

Пусть = у, у > 0, тогда х + 7 = у2. Получаем уравнение вида:

+ = 4
+ = 4
у + 1 + = 4
= 3 – у
у2 – 6 – у = 9 – 6у + у2
5у = 15
у = 3
Возвращаемся к замене.
х + 7 = 9; х = 2

Ответ: х = 2.

5)  + = 2

Введем две переменные и решим  систему двух уравнений с двумя переменными.

Пусть  = а,   = b, а > 0, b > 0. 1 – х = а4, 15 + х = b4.

Не решая систему видно, что ее решениями являются следующие пары чисел: (2;0) и (0;2).

1 – х = 16
15 + х = 0, получается, что х = – 15
1 – х = 0
15 + х = 16, получается, что х = 1

ОДЗ: х €

Ответ:  х € .

6) + = 2х

Решим искусственным способом. Разделим обе части уравнения на х, кстати, х>0, получим:

     + = 2

Введем замену. Пусть = t, t > 0.

t  + – 2 = 0
t2 – 2t + 1= 0                 ОДЗ: х > 0
(t – 1)2 = 0
t = 1
= 1
х =
х2 – 2х – 15 = 0
х1 = 5; х2 = – 3 – не подходит по ОДЗ.

Ответ: х = 5.

7)  – х =

Решим уравнение тригонометрической заменой.

х = tg t, t € (), получим уравнение вида:

 – tg t = cos t

Умножим обе части уравнения на cos t, cos t ? 0

2 – 2sin t = 5(1 – sin2t)
5sin2t – 2sin t – 3 = 0
sin t = у, у €
5у2 – 2у – 3 = 0
D = 4 + 60 = 64
у1 = – 0,6    у2 = 1 – не подходит.
Возвращаемся в замену:
sin t = – 0,6
t = arcsin(– 0,6)
x = – tg(arcsin 0,6) = = – · = –
Ответ: х = –.

8) + + 2= 35 – 2х

Решим уравнение заменой. Пусть + = у; у > 0.

2х + 7 + 2 = у2,тогда          ОДЗ: х €
у + у2 – 42 = 0
у = – 7 – не подходит;
у = 6
Возвращаемся к замене

+ = 6
х + 7 = х + 36 – 12
12 = 29
х =  
х = 5
Ответ: х = 5.

9) + = 3х

Решим уравнение искусственным методом, помножив его на сопряженный  множитель, а именно на – .

2х2 + 3х +5 – 2х2 + 3х – 5 = 3х( – )
6х – 3х( – ) = 0
3х (2 – + ) = 0
3х = 0 или 2 –  += 0
x = 0 – не подходит.

Сложим исходное уравнение со вторым полученным:

2 = 3х – 2
8х2 – 12х + 20 = 9х2 – 12х – 4
х2 – 16 = 0
х1 = 4; х2 = – 4 – не подходит.

Ответ: х = 4.

10) 12 + 5 = 39

Решим уравнение векторным методом.

Пусть a; ,                     ОДЗ: х €
ab =  · • cos (ab)
 = = 13,  = = 3,
так как ab = = 39, то cos = 1, то есть  и аb, а следовательно их координаты пропорциональны:  = ; х = .
Ответ: х = .

III. Самостоятельная работа

1 вариант 

Реши уравнение:

1. + = 1
2. + =   
3. = х – 5

2 вариант

Реши уравнение:

1. = 1 –
2. + = 4
3.  х2 + = 22 

3 вариант (для слабо подготовленных)

Реши уравнение:

1.  – х + 4 = 0
2. 10 – 3 – 3 = 0
3. + = 92

IV. Рефлексия урока и подведение итогов

– Какой способ решения иррациональных уравнений по вашему мнению является универсальным?
– С какими трудностями вы столкнулись при решении иррациональных уравнений?
– Была ли  для вас самостоятельная работа очень сложной?

V. Домашняя работа: 1-5 обязательные для всех, 6,7 – уровень «4», «5».

Реши уравнение:

1. = (х – 2)2                                   Ответ: 2; 3.
2.  =                                       Ответ: 0; 3.
3. – = 2                           Ответ: ± 4.
4. + = 2                                           Ответ: 1
5. + х2 – 5 = 7                               Ответ: ± 10
6. + =         Ответ: 2; .
7.  х2 + 3 – = 1,5(х + 4)      Ответ: – 2; 3,5.