Определенный интеграл и его геометрический смысл

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (9 МБ)

Цели:

  • образовательная: введение понятия определенного интеграла, следуя естественноисторическому развитию математики; разъяснение его геометрического смысла; вычисление определенного интеграла;
  • развивающая: развитие творческих способностей, логического мышления, умения обобщать и систематизировать знания;
  • воспитывающая: воспитание познавательного интереса к математике, к истории ее развития.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Мозговой штурм.
  3. Математический диктант.
    1. Задание 1. Найдите первообразную функции.
    2. Задание 2. Найдите интеграл.
    3. Задание 3. Найдите пару “функция – её первообразная”.
    4. Самооценка.
  4. Актуализация темы и цели урока.
  5. Объяснение новой темы.
    1. Геометрический смысл задачи интегрирования.
    2. Криволинейная трапеция.
    3. Пример – интеграл через площадь.
    4. “Метод исчерпывания” Архимеда.
    5. Демонстрация метода на примере яблока.
    6. Интегральная сумма.
    7. Лабораторная работа на приближенное вычисление интеграла.
    8. Формула Ньютона-Лейбница.
  6. Закрепление темы.
    1. Решение примеров, используя формулу Ньютона-Лейбница.
  7. Подведение итогов - рефлексия. Домашнее задание.

“Высшее назначение математики... состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает” .
(Норберт Винер)

Введение.

Интеграл, интегрирование, интеграция... Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие обиходными. В газетах читаем об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах.

Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления. Греческие математики Эвдокс и Архимед (4; 3 века до н.э.) для решения задач вычисления площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно малых частей и искомую площадь (объем) вычисляли как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков.

Галилей, Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаль, Барроу ...

Во второй половине 17 века идеи, подготовленные всем предшествующим развитием математики, были гениально осознаны, обобщены и приведены в систему английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким математиком В.Г. Лейбницем. Они создали стройную систему понятий и выработали правила, по которым можно вычислять интегралы.

Геометрический смысл задачи интегрирования.

s’(t)=v(t) и обратное действие интегрирования дает =s(t).

Таким образом, интеграл скорости равен пути.

Рассмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого интеграла.

Пусть точка движется с постоянной скоростью v=v0 . Графиком скорости в системе координат (v, t) будет прямая v=v0 , параллельная оси t. Если считать, что в начальный момент времени t = 0 точка находилась в начале координат, то путь s, пройденный за время t, вычисляется по формуле s = v0* t. Эта величина представляет собой площадь прямоугольника, ограниченного графиком функции v=v0, осью абсцисс, осью ординат и параллельной оси ординат прямой. Т.о., путь точки равен площади под графиком.

Если движение неравномерное, то скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени [t, t+dt]. Если скорость меняется по закону v=v(t), то путь, пройденный за отрезок времени [t, t+dt] выразится произведением v(t)* dt. На графике это площадь прямоугольника со сторонами v(t) и dt. Точное значение пути за отрезок времени [t, t+dt] равно площади криволинейной трапеции, закрашенной на рисунке. Весь путь получится сложением площадей таких криволинейных трапеций, т.е. выразится как площадь под графиком.

Т.о. задача интегрирования тесно связана с задачей вычисления площади.

Вывод: интеграл – это площадь.

Криволинейная трапеция.

Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком положительной функции f, определенной на заданном промежутке, прямой х = а, х = b, осью х.

Площадь криволинейной трапеции – это определенный интеграл

S кр. тр.=

f(x) – подынтегральная функция; a, b - пределы интегрирования.

Криволинейную трапецию можно образовать с помощью различных функций.

Итак, интеграл - это площадь криволинейной трапеции.

Если умеем вычислять площадь, то научимся вычислять интеграл.

“Метод исчерпывания” Архимеда (сообщение студента).

В данном примере определенный интеграл вычислялся через площадь треугольника. Прямое вычисление площадей некоторых фигур, а значит и интегралов от некоторых функций, проделал Архимед еще в 3 веке до н.э. Он вычислил площадь параболического сегмента с помощью изобретенного им метода исчерпывания.

При определении объемов Архимед разбивает тело рядом параллельных плоскостей на тонкие слои, которые заключает между двумя рядами цилиндров: вписанных и описанных. Суммируя объемы каждого ряда, он получает два предела, между которыми находится искомый объем ( работа с плакатом). Эти пределы могут быть сближены, если уменьшить расстояние между секущими плоскостями. Таким образом, Архимед является как бы предвозвестником того универсального метода, который мы называем “интегральным исчислением”, дающим общую формулу для вычисления объемов и площадей.

Демонстрация метода на примере яблока.

Хотя метод исчерпывания Архимеда не дал общего способа вычисления площади, однако сыграл большую роль в математике, т.к. с его помощью удалось объединить различные задачи - вычисление площади, объёма, массы, работы, пути и др.

Предположим, что нам надо вычислить объем яблока, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо формулу объема нельзя. С помощью взвешивания найти объем также трудно, так как плотность яблока в разных частях разная. Поступим следующим образом. Разрежем яблоко на тонкие дольки. Каждую дольку приближенно можно считать цилиндриком, радиус основания которого можно измерить. Объем такого цилиндра можно вычислить легко по готовой формуле V=пR2H. Сложив объемы маленьких цилиндриков, мы получим приближенное значение объема всего яблока. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать яблоко.

Интегральная сумма.

Применим аналогичную процедуру для вычисления площади криволинейной трапеции. Рассмотрим график функции f, заданной на отрезке [a;b]. Разобьем этот отрезок на несколько одинаковых частей. Площадь криволинейной трапеции разобьется на сумму площадей более мелких криволинейных трапеций. Каждую трапецию можно приближенно считать прямоугольником. Сумма площадей этих прямоугольников дает приближенное представление о площади всей фигуры. Чем мельче разбиение отрезка, тем точнее вычисление площади. Если записать математическими символами эти рассуждения, то получим сумму Sn = f(x1) * dx1 + f(x2) * dx2+...+ f(xn) * dxn, которую называют интегральной суммой функции f.

Геометрически эта сумма представляет собой площадь закрашенной ступенчатой части фигуры. Интегральная сумма дает приближенное значение площади. Точное значение получают с помощью предельного перехода. Представим, что разбиение отрезка [a;b] таково, что длины маленьких отрезков стремятся к нулю( dxk- 0).тогда площадь ступенчатой фигуры приближается к площади криволинейной трапеции.

Sкр. тр.= limSn

Итак, определенный интеграл равен пределу интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление пределов интегральных сумм оказалось трудоемким процессом, как вы видите.

Сообщение.

Архимед сумел вычислить некоторые площади и объемы, фактически находя пределы интегральных сумм для квадратической функции. Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли развитие и были доведены до уровня интегрального исчисления.

Символ интеграла был введен Г.Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S(первой буквы слова summa). Слово интеграл придумал Я.Бернулли (1690 г.) Оно происходит от латинского integro , которое означает “приводить в прежнее состояние, восстанавливать”. Действительно операция интегрирования восстанавливает функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция. Обозначение определенного интеграла ввел К.Фурье (1768-1830 гг.), но пределы интегрирования ввел Эйлер.

Так интегрировались, суммировались идеи и открытия. Вычисление определенного интеграла было сведено к формуле Ньютона-Лейбница, названной в честь математиков, впервые использовавших связь дифференцирования и интегрирования.

Теорема Ньютона-Лейбница гласит, что интеграл равен приращению первообразной: =F(b)-F(a) = F(x)|ab

Самостоятельная работа.

Вариант I.

1. Запишите с помощью интеграла площадь фигуры, изображенной на рисунке:

2. Вычислите определенные интегралы:

 

Вариант II

1. Запишите с помощью интеграла площадь фигуры, изображенной на рисунке:

2. Вычислите определенные интегралы:

 

 

 

Домашнее задание.

а) Решите самостоятельно задания любого уровня.

Уровень 1.

Вычислите интеграл: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Уровень 2.

Найдите пары чисел a и b, при которых функция удовлетворяет условию:

Без вычислений запишите, чему равен интеграл

Указание: используйте график функции y=

Каким свойством графика пользовались? Попробуйте сделать обобщение.

б) Составьте алгоритм вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

в) Дополнительное задание на смекалку.

Запишите пять латинских букв s, r, x, d и снова x. Замените s и r математическими знаками, которые произошли от этих букв. Проведите необходимые преобразования и сообщите окончательный результат.

Приложение к уроку.