Математические и забавные фокусы с игральными костями

Фокусы, как  средства обучения, редко используются в учебном процессе. Применение их на уроках математики и во внеклассной работе продолжают развитие логического мышления, пространственного воображения, умения нестандартно мыслить, а также повышают интерес к предмету.
Фокус – это искусный трюк, основанный на обмане зрения при помощи ловких и быстрых приемов.
Первые фокусы появились еще на заре человечества. Древний человек пытался осмыслить и понять окружающий мир, разгадать его тайны. Темные, неграмотные массы считали фокусы проявлением сверхъестественных сил богов или дьявола. До наших дней сохранился древнеегипетский папирус, рассказывающий о бродячем артисте, который поразил своими фокусами фараона Хуфу. Это было около 2900 года до нашей эры.
Одними из первых профессиональных фокусников были жрецы – посредники между людьми и богами. В их руках находилось все, в том числе и гениальные изобретения современников, неизвестные и непонятные многочисленной пастве. А не правильно понятые явления пополняли свой запас мистических представлений. Все, что было недоступно разуму, все, что пугало таинственностью, казалось проявлением каких-то неведомых сил. 
Уже тогда жрецы разжигали на жертвеннике огонь, и тяжелые двери храма медленно раскрывались сами собой, а в клубах дыма появлялись величественные фигуры. Секрет был прост. Под жертвенниками был спрятан небольшой медный котел с водой. От огня вода закипала, и пар приводил в движение несложный механизм, открывавший двери.
В средние века суеверное духовенство стало сжигать на костре фокусников как союзников дьявола. С тех пор прошли сотни лет. Выступления фокусников давно утратили налет таинственности, стали просто блестящей демонстрацией изобретательность и ловкости человека. Новые открытия математики, физики, химии и других наук всегда немедленно брались на вооружение. Они были по ту, невидимую, сторону фокуса, а их присутствие тщательно охранялось.
От зрителей фокус всегда скрыт наполовину: они знают  о существовании той, тайной, половины, но представляют ее себе как нечто нереальное, непостижимое. Это обратная сторона фокуса основывается либо на ловкости рук, либо на разнообразных вспомогательных приспособлениях. Многие их них к тому же основаны на разных математических, физических и химических законах, хотя кажется, что они, наоборот, нарушают все общеизвестные законы.
Математические фокусы – это наблюдаемые эксперименты, основанные на математике, на свойствах фигур и чисел, обличенные в несколько экстравагантную форму. В них изящество математических построений соединяется с занимательностью.
Математические фокусы являются своеобразной демонстрацией математических закономерностей. Если при учебном изложении стремятся к возможно большему раскрытию идеи, то здесь для достижения эффективности и занимательности, наоборот, как можно хитрее маскируют суть дела. Именно поэтому вместо отвлеченных чисел так часто используются различные предметы или наборы предметов связанные с числами.
Удивительное не рождается в пустоте. Оно, движимое фантазией человека, всегда вырастает из уже известного.
Успех каждого фокуса зависит от хорошей подготовки и тренировки, от легкости исполнения каждого номера, точного расчета, умелого владения приемами, необходимыми для проведения фокуса. Такие фокусы производят большое впечатление на зрителей и увлекают их.

1. Фокус «Угадывание суммы»
Показывающий поворачивается спиной к зрителям, а в это время кто-нибудь из них бросает на стол три кости. Затем зрителя просят сложить три выпавших числа, взять любую кость и прибавить число на нижней грани к только что полученной сумме. Потом снова бросить эту же кость и выпавшее число опять прибавить к сумме. Показывающий обращает внимание зрителей на то, что ему никоем образом не может быть известно, какую из трех костей бросили дважды, затем собирает кости, встряхивает их в руке и тут же правильно называет конечную сумму.
Объяснение. Прежде чем собрать кости, показывающий складывает числа, обращенные к вверху. Добавив к полученной сумме, семерку, он находит конечную сумму.

2. Фокус «Пятнышки на гранях»
Фокусник приглашает тайно бросить на стол три игральных кубика, сблизить их в один ряд, и обещает угадать число пятнышек, объявившихся  на верхней грани первого, второго и третьего кубиков. Предварительно он просит написать эти числа подряд и приписать еще три числа, определяемые количеством пятнышек на нижних гранях кубиков, в том же порядке их следования. Образуется шестизначное число. Фокусник предлагает разделить это число на 111 и сообщить ему частное.
Например, пусть картинка верхних граней брошенных кубиков такова, как показано на рисунке.

<Рисунок 1>

С приписанными числами (из нижней грани) образовалось число 351426. Разделим на 111 и сообщим фокуснику результат: 3166. фокусник заявляет: объявившиеся на верхних гранях кубиков числа 3, 5 и 1.
Объяснение. Для данного фокуса необходимо всегда использовать кубики, сумма чисел на противоположных гранях которых равна 7. Из объявленного числа фокусник всегда вычитает 7, разность делит на 9. В частном получится трехзначное число, цифры которого – искомые (в данном примере 3, 5 и 1). Привлекая алгебраическую форму записи числа, образующееся шестизначное число с цифрами а, в, с, 7 – а, 7 – в, 7 – с, запишем как
N = 105^а + 10⁴в + 10³с + 10²(7 – а) + 10¹(7 – в) + 10⁰(7 – с) =
= 10⁵а + 10⁴в + 10³с + 10²(7 – а) + 10(7 – в) + (7 – с).
Дальнейшие действия: (N: 111 – 7): 9 приводят фокусника к числу 100а + 10в + с (убедитесь сами!), цифры которого – а, в и с. Поэтому угадывание будет безошибочным всегда.

3. Фокус «Сколько выпало очков?»
Отвернувшись, предложите кому-нибудь подбросить два кубика, на каждой из шести граней который написано по одной цифре от 1 до 6. Затем попросите к двойному числу очков верхней грани второго кубика. По объявленному результату вы сразу же можете назвать число очков, находящихся на верхней грани каждого из кубиков.
Объяснение. Надо из объявленного числа вычесть 25, тогда первая цифра полученной разности будет числом очков, выпавшим на первом кубике, а вторая – числом очков, выпавшим на втором кубке.
Например. Пусть при бросании двух кубиков выпали очки 2 и 4. Проделывая последовательно предложенные арифметические действия, в результате мы получим
(2 × 2 + 5) × 5 + 4 – 25 = 24,
Откуда видно, что первая цифра числа 24 есть число очков, выпавших на одном кубике, а вторая цифра – цифра 4 – число очков, выпавших на другом кубике.
Пусть в результате бросания двух кубиков числа выпавших на кубиках очков соответственно равны а и в. Умножая число а на 2 и прибавляя 5, получим число 2а + 5, умножая это число на 5, имеем число 10а + 25, прибавив к нему число в и вычитая 25, имеем число

,
<Рисунок 2> 

откуда следует, что первая цифра есть число очков, выпавших на первом кубике, а вторая цифра есть число очков, выпавших на втором кубике.

4. Фокус «Отгадывание выпавшего числа очков»
Зритель бросает три кости, причем, показывающий не смотрит на стол. Число, выпавшее на одной из костей, умножается на два, к полученному произведению прибавляется пять, и результат снова умножается на пять. Число, выпавшее на второй кости, складывается с предыдущей суммой, и результат умножается на десять. Наконец, к последнему числу прибавляется число, выпавшее на третьей кости. Как только показывающий узнает окончательный результат, он немедленно называет три выпавших числа.
Объяснение. От последнего числа показывающий отнимает 250. Три цифры полученной разности и будут искомые числами, выпавшими на костях.

5. Фокус «Трехзначные числа»
Для показа этого фокуса берутся пять игральных костей, на гранях которых изображены различные трехзначные числа, всего 30 чисел. Наши пять костей несут на себе следующие числа (табл.1).
Зритель бросает кости на стол, и показывающий тут же объясняет сумму пяти выпавших чисел.
Объяснение. Чтобы получить эту сумму, показывающий складывает последнее цифры всех этих чисел и вычитает полученное число их 50. Поставив найденную разность перед вычитаемым, он получает четырехзначное число, которое и будет искомой суммой пяти трехзначных чисел, выпавших на костях. Допустим, например, что сумма последних цифр равна 26. Вычитая 26 из 50, поучаем 24 в ответе будет число 2426.

Таблица 1

6. Фокус «Кости и спички»
Показывающий, повернувшись спиной к зрителям, просит их составить столбиком три игральные кости, затем сложить числа на двух соприкасающихся гранях верхней и средней костей, потом прибавить к полученному результату сумму чисел на соприкасающихся гранях средней и нижней костей, наконец, прибавить к последней сумме еще число на нижней кости. В заключение столбик накрывается платком.
Теперь показывающий поворачивается к зрителям и вынимает из кармана горсть спичек, количество которых оказывается равным сумме, найденной зрителем при сложении пяти чисел на гранях кубиков.
Объяснение. Как только зритель сложит свои числа, показывающий на мгновение поворачивает голову через плечо якобы для того, чтобы попросить зрителя  накрыть столбик платком. В самом же деле он в это время успевает заметить цифру на верхней грани верхнего кубика. Допустим, это шестерка. В кармане всегда должна быть 21 спичка. Захватив все свои спички, показывающий, вынимая руку из кармана, роняет шесть из них обратно. Иными словами, он вытаскивает все спички без стольких, какова цифра наверху столбика. Это число спичек и дает сумму цифр на пяти гранях.

7. Фокус «Кубик и платок»
Исполнитель выносит в руках кубик размером 10×10×10 см, склеенный из картона, и показывает его со всех сторон зрителям. И те видят, что на одной его грани черной тушью нарисованы пять очков, а остальные грани – чистые. Фокусник накрывает этот кубик непрозрачным платком, сдергивает платок и вновь демонстрирует кубик. Теперь на одной из его граней черной тушью оказываются нарисованы шесть очков, а остальные пять граней – чистые.
Объяснение. Секрет выполнения этого трюка из рисунка – на двух смежных гранях этого кубика черной тушью нарисованы пятерка и шестерка, а к ребру кубика, расположенному между этими двумя гранями, приклеена картонная створка, выполненная из того же материала, что и кубик.

<Рисунок 3>

Она непременно закрывает то одну, то другую грань. Конечно, если исполнитель достаточно хорошо освоит технику поворота кубика, то фокус можно проводить и без платка. Тогда фокус выглядит эффективнее, но выполняется он сложнее.

8. Фокус «Кубик, шляпа и платок»
Фокусник выходит на сцену в шляпе и несет в руке игральный кубик размером 8×8×8 см. Снимает шляпу и кладет ее на столе отверстием вверх. Показывает еще раз кубик со всех сторон, после чего кладет его на стол. Достает из кармана широкий непрозрачный платок и накрывает им кубик, лежащий на столе. Под платком, разумеется, вырисовываются очертания кубика. Фокусник ставит на него шляпу, лежащую на столе (также отверстием вверх), делает магический пасс, поднимает шляпу и выкатывает из нее кубик. Быстро надевает шляпу, сдвигает платок – под ним ничего нет. У зрителей создается впечатление, будто лежавший на столе кубик прошел сквозь платок и оказался в шляпе.
Объяснение. Кубик, вынесенный фокусником, был не совсем обычным. На него был надвинут футляр

<Рисунок 4>

При этом футляр не имеет одной грани (вместо этой грани существует отверстие, в которое вдвигается кубик); вторая грань, смежная с первой, в точности совпадает по рисунку с одной из граней кубика; четыре же оставшиеся  грани в точности совпадают с декоративными окружностями, нарисованными на всех гранях кубика. Что касается граней кубика, то внутри декоративных (нарисованных) окружностей на всех его гранях располагаются нарисованные очки – то или иное их количество для каждой грани кубика. Теперь, наверно, понятно, что под платком на стол кладется не сам кубик, а футляр, присеем расположенный той стороной к зрителям, которая неотличима от соответствующей грани кубика.
Разберем как кубик оказывается внутри шляпы фокусника. Перед выходом на сцену фокусник вдвигает кубик  футляр, а зрителям издалека кажется, будто кубик – самый обычный. Однако, когда фокусник водит рукой, удерживающий футляр с кубиком, по воздуху над лежащие на столе шляпой, он слегка ослабляет нажим пальцев, и кубик выпадает из футляра в шляпу. В этот момент футляр должен быть развернут к зрителям той гранью, которая в точности совпадает с соответствующей гранью кубика. Футляр из-под платка исчезает следующим образом. К одному из ребер футляра прикрепляется одним концом отрезок рыболовной лески с рыболовным крючком на конце. Когда фокусник помещает футляр на столе, собираясь накрыть его платком, он цепляет этот рыболовный крючок за скатерть на столе; когда же фокусник сдвигает платок, он смахивает футляр со столика, и тот повисает на противоположной от зрителя стороне столика, а зрителям кажется, будто «кубик» и в самом деле исчез. Зрители не должны заметь рыболовного крючка во время показа футляра с «заряженным» внутри его кубиком. Надо зажимать крючок между пальцами руки, удерживающей футляр с кубиком.

9. Фокус «Часы и игральная кость»
Показывающий отворачивается от стола, а в это время зритель бросает кость  и задумывает какое-нибудь число (желательно не больше 50, чтобы не затягивать фокус). Допустим, это 19. Далее зритель начинает притрагиваться к числам на циферблате, начав с числа, указанного игральной костью, и двигаясь почасовой стрелке. Число на которое придется последнее 19-е касание, записывается. Затем он снова делает 19 прикосновений, но уже в направлении, обратном движению часовой стрелки, отсчитывая их с той же цифры, что и в предыдущей раз. Число, на которое придется последнее прикосновение, опять записывается. Оба записанных числа складываются, и сумма их называется слух. После этого показывающий сразу называет число, выпавшее на игральной кости.
Объяснение. Два результата, которые нужно сложить, располагаются на циферблате симметрично относительно диаметра, проходящего через начало отсчета (указанное игральной костью). Так как шкала часов равномерна, то сумма результатов равна удвоенному числу в начале отсчета, если заменить при этом 12 на нуль, 11 – на 1 и т.д., а это означает, что если результат больше 12, то из него вычесть 12, а затем полученную разность разделить пополам.
Если названная сумма меньше или равна 12, то для получения ответа нужно просто разделить ее на 2. Если же сумма больше 12, то показывающий сначала вычитает из нее 12, а затем уже делит остаток на 2.

10. Фокус «A trick with dice»
The fact that the sum of the numbers on the opposite sides of a die is always seven explains many unusual mathematical tricks with dice. Here is one of the best.

<Рисунок 5>

Turn round when somebody throws three dice. Ask hem:

1. to add all the three numbers;
2. to take one die and add the number on the bottom face 1 to the number which he has already counted;
3. to throw the same die again and add again the number it shows on top.

Now turn round and tell your friends that you can’t know which of the three dice they threw again. Take all the dice, shake them in your hand a moment and then tell the correct sum (рис. 215).
How do you know? That is simple. You must add the numbers on the top faces 2 of the three dice before you take them in your hand, and add seven. If you think a little, you will understand why this works.
1 on the bottom face – на нижней грани,
2 on the top faces – на верхних гранях.

Литература.

1. Акопян А.А. Все о фокусах. – М.: Искусство, 1971. – 192 с.
2. Гарднер М. Занимательные опыты: сб. науч.-попул. текстов на англ. яз. для чтения в 8 кл. сред. школы / сост. М.Е. Столяр, Л.И. Фомин. – М.: Просвещение, 1979. – 80 с.
3. Гарднер М. Математические чудеса и тайны: пер. с англ. / под ред. Г.Е. Шилова. – 5-е изд. – М.: Наука, 1986. – 128 с.
4. Карташин А.С. Калейдоскоп фокусов. – М.: Издательство «Мир Искателя», 1996. – 352 с.
5. Карташин А.С. Фокусы. – М: Издательский дом «ИСКАТЕЛЬ», 1997. – 544 с.
6. Кордемский Б.А. Математические завлекалки. – М.: Издательский Дом ОНИКС: Альянс-В, 2000. – 512 с.
7. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задача. – М.: Наука, 1988. – 160 с.
8. Первушина Т. Математические фокусы // Математика. – 2007. – № 13. – С. 40-43.
9. Постолатий В. Веселая магия. Фокусы для начинающих. – М.: Панорама, 1992. – 64 с.