Урок математики "Признаки делимости чисел"

Если для двух целых чисел a и b существует такое целое число q, что b • q = a, то говорят, что число a делится на число b, или число а кратно числу b.

Признак делимости это алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Признак делимости на 2.
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является четной.

Слайд 7. Пример:

1) 28
    8 – четное число, значит, 28 делится на 2 без остатка.

2) 1346
    6 – четное число, значит, 1346 делится на 2 без остатка.

Признак делимости на 3.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 без остатка.

Слайд 9.

Пример:

1) 723

7 + 2 + 3 = 12
12 делится на 3 без остатка,
Значит, 723 делится на 3.

2) 2364

2 + 3 + 6 + 4 = 15
15 делиться на 3 без остатка, значит, 2364 делится на 3.

Признак делимости на 4.
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Пример:

1) 716
    16 делится на 4, значит, число 716 делится на 4 без остатка.

2) 35636
    36 делится на 4, значит, число 35636 делится на 4 без остатка.

Признаки делимости на 4.
Чтобы узнать делится ли двухзначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам, если сумма делится на 2, значит, число делится на 4.

Пример:

1) 92
    9 + 1 = 10 – четное число, значит, 92 делится на 4 без остатка

2) 68
    6 + 4 = 10 – четно число, значит, 68 делится на 4 без остатка.

Признак делимости на 5.
Число делится на 5 только тогда, когда его последняя цифра 5 или 0.

Пример:

1) 1380
    Число 1380 оканчивается нулем, значит, число 1380 делится на 5 без остатка.

2) 24715
    Число 24715 оканчивается пятеркой, значит, число 24715 делится на 5 без остатка.

Признак делимости на 6.
Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть, если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Пример:

948
Число 948 является чётным и сума его цифр, 9 + 4 + 8 = 21 делится на 3, значит, число 948 делится на 6 без остатка.

Признаки делимости на 7.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Слайд 19.

Пример:

364
36 – (4 • 2) = 28
28 : 7 = 4
Значит, число 364 делится на 7 без остатка.

Слайд 20.

Признак делимости на 8.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Слайд 21.

Пример:

24816
816 : 8 = 102.
Значит, число 24816 делится на 8 без остатка.

Слайд 22.

Признак делимости на 8.
Чтобы узнать, делится ли трехзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8.

Слайд 23.

Пример:

952
95 + 1 = 96
9 + 3 = 12
12 : 2 = 6(делится на 2).
Значит, 952 делится на 8.

Слайд 24.

Признак делимости на 9.
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 без остатка.

Слайд 25.

Пример:

27891
2 + 7 + 8 + 9 + 1 = 27
27 : 9 = 3
Сумма делится на 9, значит, число 27891 делится на 9 без остатка.

Слайд 26.

Признак делимости на 10.
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Слайд 27.

Пример:

1) 17310
Число 17310 оканчивается на ноль, значит, число 17310 делится на десять без остатка.

2) 236810
Число 236810 оканчивается на ноль, значит, число 236810 делится на десять без остатка.

Слайд 28.

Признак делимости на 11.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

Слайд 29.

Пример:

1) 103785
    1 + 3 + 8 = 12
    0 + 7 + 5 = 12
    Значит, 103785 делится на 11 без остатка.

2) 9163627
    9 + 6 + 6 + 7 = 28
    1 + 3 + 2 = 6
    28 – 6 = 22
    22 : 11 = 2
    Значит, 9163627 делится на 11 без остатка.

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учетверенной последней цифры, делится на 13.

Слайд 31.

Пример:

845
84 + (4 • 5) = 104 : 13
10 + (4 • 4) = 26 : 13 = 2
Число 845 делится на 13 без остатка.

Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратко 17.

Слайд 33. Пример:

29053
2905 + 36 = 2941
294 + 12 = 306
30 + 72 = 102
10 + 24 = 34
Так как 34 : 17 = 2, то 29053 делится на 17 без остатка.

Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Пример:

646
Так как 64 + (6 • 2) = 64 + 12 = 76
7 + (6 • 2) = 7 + 12 = 19
19 делится на 19, значит, 646 делится на 19 без остатка.

Слайд 36.

Признак делимости на 20.
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра делится на 2.

Слайд 37.

Пример:

2740.
Число делится на 20, так как оканчивается на 0 и 4 – четное число.

Слайд 38.

Признак делимости на 23.
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.

Пример:

28842
Число делится на 23, так как
288 + (3 • 42) = 414
4 + (3 • 14) = 46
46 делится на 23.

Признак делимости на 99.
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двухзначными числами. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.

Слайд 41.

Пример:

122166
12 + 21 + 66 = 99
Число 99 делится на 99, значит, 122166 делится на 99 без остатка.

Слайд 42.

Признак делимости на 101.
Разобьем числа на группы по 2 цифры справа налево ( в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем алгебраическую сумму этих групп, с переменными знаками, считая их двухзначными числами.
Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101.

Пример:

590547
59 – 05 + 47 = 101
101 делится на 101, значит, 590547 делится на 101.