Задание 1. Докажите тождество.
Доказать данное тождество – значит показать,
что при любом значении х значение функции
равно .
Найдем производную функции:
Так как
при любых действительных х, то функция
постоянна
на множество R; найдем эту постоянную,
вычислив значение функции f, например, в точке
х=0.
Итак, на множестве R данное равенство является тождеством.
Задание 2. Найдите сумму.
Немного изменим формулировку задания и найдем значение функции
В точке х=3. Легко заметить, что
Рассмотрим теперь функцию
Так как Слагаемые функции S(x) образуют
геометрическую прогрессию, первый член которой х,
последний
,
знаменатель х. Функция S(x) – сумма
геометрической прогрессии, то есть
Ответ:
Задание 3. Докажите, что
![](Image1589.gif)
Данное неравенство равносильно
неравенству
Рассмотрим функцию
Она определена при и непрерывна как сумма
непрерывных функций. Наша задача доказать, что
при
Заметим, что при х = 0 , то есть неравенство
верно при х = 0. Остается доказать, что при
, то есть
что функция f(x) возрастает на интервале
Но если , тогда
, то есть
, а это означает, что функция
возрастает.
Значит,
Задание 4. (Устно.) Докажите, что
ни одна касательная к графику не параллельна на оси
х.
Допустим, что существует хотя бы одна
касательная к графику данной функции,
параллельная на оси х. Тогда , чего не может быть,
так как дискриминант этого квадратного
трехчлена отрицателен.
Задание 5. При каких
действительных значениях b уравнение имеет
корни?
Найдем ОДЗ данного уравнения, для чего решим систему
На отрезке рассмотрим функцию
и найдем ее
производную.
Найдем точки на отрезке , в которых эта производная
равна нулю.
Найдем значение функции f(x) в
точке и
на концах отрезка
.
Учитывая, что функция f(x)
непрерывна на отрезке (как сумма непрерывных функций), ее
наибольшим значением будет
, а наименьшим
. Но так как функция f(x),
непрерывна, то область ее значений целиком лежит
между наименьшим и наибольшим значениями и
представляет собой отрезок
. Следовательно, b,
стоящее в правой части уравнения, должно
принимать значения из этого промежутка.
Ответ: решение при .
Задание 6. Решить неравенство
Рассмотрим функцию Найдем участки
возрастания и убывания функции.
![](Image1616.gif)
![](Image1617.gif)
![](Image1618.gif)
![](Image1575.gif)
![](Image1619.gif)
![](Image1620.gif)
Ответ: .