“Жизнь состоит из одних неизвестных”.
Цели урока.
Образовательные:
- повторить решение уравнений методом разложения на множители и методом введения новой переменной;
- сформировать у учащихся умение решать уравнения рассмотренными методами.
Развивающие:
- развивать умение анализировать и делать выводы;
- развивать у учащихся применять теоретические знания на практике.
Воспитательные:
- воспитывать сознательное отношение к усвоению учебного материала;
- воспитывать умение контролировать внимание на всех этапах урока.
Тип урока: урок-лекция.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сегодня мы поговорим об общих идеях, общих методах, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания. Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных. Все уравнения взяты из сборника экзаменационных заданий за курс средней школы.
2. Лекция.
Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить уравнение f(х) = 0 и пусть f(х) = f1(х) · f2(х) · f3(х). Тогда уравнение f(х) = 0 можно заменить совокупностью более простых уравнений:
f1(х) = 0
f2(х) = 0
f3(х) = 0
Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни, которые принадлежат области определения уравнения f(х) = 0, мы получим корни исходного уравнения.
В рассмотренном примере разложение на множители уже было произведено. Но чаще встречаются такие ситуации, когда дано уравнение f(х) = 0 и надо преобразовать выражение f(х) к виду f(х) = f1(х) · f2(х) · f3(х) с тем, чтобы превратить данное уравнение в совокупность более простых. Поэтому полезно вспомнить приемы разложения на множители. В школе мы их изучаем некомпактно: в VIII классе – один прием, в IX – еще два, в X – XI классах еще один-два. Перечислю набор изученных приемов:
- вынесение общего множителя за скобки;
- способ группировки;
- использование формул сокращенного умножения;
- разложение на множители квадратного трехчлена ах2 + вх + с = 0 = а (х – х1)(х – х2). где х1, х2 – корни этого трехчлена.
Иногда прибавляются искусственные приемы:
- представление одного из слагаемых в виде некоторой суммы;
- прибавление и вычитание одного и того же выражения с целью последующей перегруппировки слагаемых.
Метод разложения на множители особенно активно используются для двух классов уравнений рациональных и тригонометрических. В большинстве случаев рациональные уравнения преобразуются к виду f(х) = 0, где f(х) – многочлен. Примеры такого рода мы уже рассмотрели. Что касается тригонометрических уравнений, то успешное использование метода разложения на множители для их решения зависит от выбора той или иной формулы тригонометрии. Можно ли по этому поводу предложить какие-либо полезные советы? Можно. Тригонометрические выражения во многих случаях подчиняются трем “законам”, которые сформулируем в шутливой форме:
Первый закон: “Увидел сумму – делай произведение”.
Второй закон: “Увидел произведение – делай сумму”.
Третий закон: “Увидел квадрат – понижай степень”.
Запомните советы. Если вы не знаете, с чего начать преобразование тригонометрического выражения, за что “зацепиться”, то начните с одного из этих “законов”.
Метод введения новых переменных
Суть метода очень проста: если уравнение f (х) = 0 удалось преобразовать к виду φ(g(х)) = 0, то нужно ввести новую переменную у = g(х), решить уравнение φ(у) = 0, а затем рассмотреть совокупность уравнений:
g(x) = y1
g(x) = y2
g(x) =yn
где у1, у2,…уn – корни уравнения φ(у) = 0. Умение удачно ввести новую переменную важный элемент математической культуры. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких-либо преобразований.
Итак, повторяя два метода решения уравнений, мы вспомнили много интересных искусственных приемов, которые обогащают алгебраический арсенал каждого, кто действительно хочет уметь решать уравнения.
3. Рефлексия.
4. Домашнее задание.
Решать все номера заданий урока с б).