В настоящее время по базовому уровню изучения математики на изучение математики в старших классах предусмотрено всего 4 часа (2 часа алгебры, 2 часа геометрии). В сельских малокомплектных школах стараются увеличить количество часов за счет школьного компонента. Но если класс гуманитарный, то школьный компонент добавляется на изучение предметов гуманитарного направления. В маленьком селе зачастую школьнику выбирать не приходится, он учится в том классе; какой имеется в школе. Становиться же юристом, историком или журналистом (бывают такие случаи) не собирается, а хочет стать инженером или экономистом, поэтому ЕГЭ по математике должен сдать на высокие балы. При таких обстоятельствах, учителю математики приходится находить свой выход из создавшейся ситуации, к тому же по учебнику Колмогорова изучение темы «однородные уравнения» не предусмотрено. В прошлые годы для введения данной темы и закрепления мне требовалось два сдвоенных урока. К сожалению, проверка образовательного надзора у нас запретила сдвоенные уроки в школе, поэтому количество упражнений пришлось сократить до 45 минут, и соответственно уровень сложности упражнений понизить до среднего. Предлагаю вашему вниманию план-конспект урока по данной теме в 10 классе с базовым уровнем изучения математики в сельской мало комплектной школе.
Тип урока: традиционный.
Цель: научиться решать типичные однородные уравнения.
Задачи:
Познавательные:
- познакомиться с однородными уравнениями, научиться решать наиболее часто встречаемые виды таких уравнений.
Развивающие:
- Развитие аналитического мышления.
- Развитие математических навыков: научиться выделять основные признаки, по которым однородные уравнения отличаются от других уравнений, уметь устанавливать сходство однородных уравнений в их различных проявлениях.
Воспитательные:
- Воспитание трудолюбия через терпеливое выполнение заданий, чувства товарищества через работу в парах и группах.
Ход урока
I. Организационный этап (3 мин.)
- Приветствие: Проверка готовности к уроку учащихся и классной комнаты к уроку.
- Активизация внимания: Устно: Найти х, если
a) sin x=0,5;
b) cos x= -
;
c) tg x= -1;
d) ctg x= -
(в сильных классах устные упражнения более сложные)
II. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового материала (10 мин.)
Выявить основные затруднения с дальнейшим разбором выполненных заданий. Ребята выполняют по выбору 3 варианта. Задания, дифференцированные по степени сложности и по уровню подготовленности ребят, с последующим объяснением у доски.
1 уровень. Решите уравнения:
- 3(х+4)=12,
- 2(х-15)=2х-30
- 5(2-х)=-3х-2(х+5)
- x2-10х+21=0 Ответы: 7;3
2 уровень. Решите простейшие тригонометрические уравнения и биквадратное уравнение: 
ответы: 
б) x4-13x3+36=0 Ответы: -2; 2; -3; 3
3 уровень. Решение уравнений методом замены переменных:
ответы: 
б) x6-9x3+8=0 Ответы:
III. Сообщение темы, установка целей и задач.
Тема: Однородные уравнения
Цель: научиться решать типичные однородные уравнения
Задачи:
Познавательные:
- познакомиться с однородными уравнениями, научиться решать наиболее часто встречаемые виды таких уравнений.
Развивающие:
- Развитие аналитического мышления.
- Развитие математических навыков: научиться выделять основные признаки, по которым однородные уравнения отличаются от других уравнений, уметь устанавливать сходство однородных уравнений в их различных проявлениях.
IV. Усвоение новых знаний (15 мин.)
1. Лекционный момент.
Определение 1 (Записываем в тетрадь). Уравнение вида P(x;y)=0 называется однородным, если P(x;y) однородный многочлен.
Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена равна одному и тому же числу к.
Определение 2 (Просто ознакомление). Уравнения вида
называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x). Поделив обе части уравнения на (v(x))n, можно с помощью замены 
получить уравнение
, что позволяет упростить исходное уравнение. Случай v(x)=0 необходимо рассмотреть отдельно, так как на 0 делить нельзя.
2. Примеры однородных уравнений:
- x2+2ху+у2=0
- (х-1)3-(х-1)2у +(х-1)у2+у3=0
Поясните: почему они однородные, приведите свои примеры таких уравнений.
3. Задание на определение однородных уравнений:
Среди заданных уравнений определить однородные уравнения и объяснить свой выбор:
После того как объяснили свой выбор на одном из примеров показать способ решения однородного уравнения:
4. Решить самостоятельно:
Ответ: 
б) 2sin x – 3 cos x =0
Разделим обе части уравнения на cos x, получим 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ + 
5. Показать решение примера из брошюры «П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2006 стр.22». Как один из возможных примеров ЕГЭ уровня С.
V. Решить для закрепления по учебнику Башмакова
стр 183 № 59 (1,5) или по учебнику под редакцией Колмогорова: стр81 №169 (а, в)
№ 59
ответы: 
№169
Ответы: 
VI. Проверочная, самостоятельная работа (7 мин.)
| 1 вариант | 2 вариант |
| Решить уравнения: | |
| а) sin2x-5sinxcosx+6cos2x=0 | а) 3sin2x+2sin x cos x-2cos2x=0 |
б) cos2 |
б) |
-3sin2 
=0
Ответы к заданиям:
1 вариант а) Ответ: arctg2+πn,n € Z; б) Ответ: ±π/2+ 3πn,n € Z; в) 
2 вариант а) Ответ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Ответ: -arctg3+πn, 0,25π+πk, 
; в) (-5;-2); (5;2)
VII. Домашнее задание
№169 по Колмогорову, №59 по Башмакову.
Кроме этого, решить систему уравнений:
Указание: умножить первое уравнение на 2. второе на –3 и сложить.
На оставшееся время от урока:
а) Решите систему уравнений
б) Решите систему уравнений
Дополнительные примеры для желающих:
6.1. Примеры для закрепления
Ι группа
Решить уравнение:
- 3sinx=2cosx
Ответ: arctg ⅔+πn, ,
-
2sin2x –5 sin x cos x+3cos2x=0
Ответ: arctg1,5+πn, 0,25π+πk,
ΙΙ группа
1) Решить систему уравнений
Ответ: 
2) Решите уравнение: 2sin2x+3sin x cos x +cos2x=0
Ответ: - arctg0,5+πn, - 0,25π+πk, 
ΙΙΙ группа
1) Решите уравнение:
Sin42x+sin32x cos 2x-8sin 2xcos32x-8cos42x=0
Указание разделите на cos42x и замените tg2x=t,
в получившемся уравнении 4 степени сделайте нужную группировку.
Ответ: 
x =(1/2)arctg2+
2) 3sin2x+2sin x cos x =2 Указание: в правой части использовать основное тригонометрическое тождество 2(sin2x + cos2x)
Ответ: arctg(-1±√3) +πn , 
Использованная литература:
- П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. стр. 22
- А. Мерзляк, В. Полонский, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: «АСТ-ПРЕСС», 1998, стр. 389
- Алгебра для 8 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.: «Просвещение», 1997.
- Алгебра для 9 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. Москва «Просвещение», 2001.
- М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов – М.: «Просвещение» 1993
- Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов. – М.: «Просвещение», 1990.
- А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1 Учебник 10-11 классы. – М.: «Мнемозина», 2004.