Понятие вектора является одним из основных в
математике, объединяющим такие ее разделы, как
геометрия, алгебре, математический анализ. Оно
имеет большое прикладное значение, так как
многие физические величины (сила, скорость и
другие) характеризуются не только величиной, но и
направлением, то есть являются векторными
величинами.
В стереометрии изучаются векторы в пространстве.
Их определение и свойства аналогичны
определению и свойствам векторов на плоскости.
Цели урока:
- Образовательные: повторение теоретических сведений по теме; рассмотрение правил треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве, законы сложения векторов; изучение правил сложения нескольких векторов в пространстве и его применение при нахождении векторных сумм, не прибегая к рисункам; рассмотрение правил умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач.
- Развивающие: развитие памяти, математической речи, наблюдательности, развитие графических навыков у учащихся.
- Воспитательные: формирование культуры ученического труда.
Тип урока: урок изучения нового материала
Оборудование:
1) Учебник: Геометрия, 10-11: Учеб. для
общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.
Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М. :
Просвещение, 2002. – 206 с. : ил.
2) раздаточный материал (Приложение
1)
3) мультимедийный проектор, Презентация
«Действия над векторами».
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Сообщение темы и цели урока
Учитель: Ребята, тема нашего урока «Действия над векторами» (Слайд 1). Сегодня мы рассмотрим правила треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве; изучим правило сложения нескольких векторов в пространстве и его применение при нахождении векторных сумм, не прибегая к рисункам; рассмотрим правила умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач. (Слайд 2).
2. Актуализация знаний (Устная работа)
Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Если учащиеся затрудняются ответить, учитель помогает.
Учитель: 1вопрос. Что называется вектором в пространстве? Его обозначения.
Ученик: Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором.
Учитель: 2 вопрос. Что называется длиной вектора? Ее обозначение.
Ученик: Длиной ненулевого вектора
называется
длина отрезка АВ.
Учитель: 3 вопрос. Какой вектор называется нулевым?
Ученик: Любая точка пространства может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым.
Учитель: 4 вопрос. Какие векторы называются коллинеарными?
Ученик: Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Учитель: 5 вопрос. Какие векторы называются сонаправленными? Обозначение.
Ученик: Если два ненулевых вектора и 
коллинеарны
и если при этом лучи АВ и СД сонаправленны, то
векторы и
называются
сонаправленными. 
.
Учитель: 6 вопрос. Какие векторы называются противоположно направленными? Обозначение.
Ученик: Если два ненулевых вектора и коллинеарны
и если при этом лучи АВ и СД противоположно
направленны, то векторы и называются противоположно
направленными. 
.
Учитель: 7 вопрос. Каким (сонаправленным или противоположно направленным) принять нулевой вектор?
Ученик: Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором.
3. Изучение нового материала
Задача учителя подчеркнуть, что сложение и вычитание векторов в пространстве вводится так же, как и на плоскости, и подчиняется тем же законам. Раздать опорную схему по теме и дать время для работы над конспектом в тетради.
Учитель: Введем правило сложения двух
произвольных векторов 
и 
.Отложим от какой-нибудь
точки А вектор , равный . Затем от точки В отложим
вектор 
,
равный .
Вектор 
называется суммой векторов и : =+ .
Это правило сложения векторов называется правилом
треугольника (Слайд 3, 4, 5).
Для любых трех точек А, В и С имеет
место равенство + = .
Учащиеся делают записи в тетрадях (Слайд 6).
Учитель: Для сложения двух
неколлинеарных векторов можно пользоваться
также правилом параллелограмма, известным из
курса планиметрии. Это правило пояснено на
рисунке (Слайд 7).
Учитель: Два ненулевых вектора
называются противоположными, если их
длины равны и они противоположно направлены.
Вектором, противоположным
нулевому вектору, считается нулевой вектор.
Очевидно, вектор 
является
противоположным вектору .
Учитель: Разностью векторов и называется такой вектор,
сумма которого с вектором равна вектору (Слайд 6).
Разность
– векторов
и можно найти
по формуле –
= + (– ), где (– ) – вектор,
противоположный вектору
Учитель: Для любых трех векторов справедливы переместительный и сочетательный законы (Слайд 6).
Учитель просит учащихся записать законы в тетрадь.
Учитель: Сформулируем правило многоугольника. Сложение нескольких векторов в пространстве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма — с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются (Слайд 8).
4. Закрепление изученного материала (выполнение задач)
а) Применение знаний в стандартной ситуации
Учащиеся выполняют № 327: один учащийся у доски, учитель комментирует (Слайд 9)
№
327. На рисунке 97 изображен параллелепипед
АВСДА1В1С1Д1. Назовите вектор, начало и конец
которого является вершинами параллелепипед,
равный сумме векторов:
а)
б)
в)
г)
д)
Учащиеся
выполняют № 328: один учащийся у доски, учитель
комментирует (Слайд 10)
№ 328 (а). Тетраэдр АВСД. Докажите,
что 
.
Дано: АВСД – тетраэдр
Докажите, что .
Решение: 
,
.
Следовательно, .
б) Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой (решение на обратной стороне доски) (Слайд 11)
Задача.
Дан тетраэдр АВСД. Найдите сумму:
а) 
б) 
в) 
5. Изучение нового материала
Учитель: Сформулируем правило
умножения вектора на число: 
; (Слайд 12)
Если 
, то
, 
при 
;
при 
.
Если 
, то 
.
Рассмотреть законы умножения вектора на число и попросить ребят изобразить схему в тетрадях. (Слайд 12)
6. Закрепление изученного материала (выполнение задач)
Учащиеся выполняют № 345: один учащийся у доски, учитель комментирует (Слайд 14)
№
345. Точки E и F – середины сторон АВ
и ВС параллелограмма АВСД, а О –
точка произвольная точка пространства. Выразите
вектор 
через
вектор 
.
Решение: 
Так как EF – средняя линия треугольника АВС,
EF|| АС и EF = 1/2 АС.
Поэтому 
,
, 
№ 347. Упростить выражение:
а) 
7. Домашнее задание (с комментарием учителя)
§ 2 (п. 36, 37, 38), № 335, № 337 (а, б), № 347 (б). (Слайд 15)
8. Подведение итогов урока
В конце урока желательно с помощью ребят перечислить понятия, правила, свойства, которые были рассмотрены на уроке и которые необходимо запомнить. Выставление оценок.
Учитель: Давайте подведем итоги урока.
Блиц-опрос по вопросам:
– Что называется произведением ненулевого
вектора на число?
– Что называется произведением нулевого вектора
на число?
– Свойства умножения вектора на число.
– Справедливо ли утверждение:
а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны;
б) любые два вектора коллинеарных противоположно направленны;
в) любые два равных вектора коллинеарны;
г) любые два сонаправленных вектора равны?
(Слайд 16)