Скачать презентацию (1.36 МБ)

Понятие вектора является одним из основных в математике, объединяющим такие ее разделы, как геометрия, алгебре, математический анализ. Оно имеет большое прикладное значение, так как многие физические величины (сила, скорость и другие) характеризуются не только величиной, но и направлением, то есть являются векторными величинами.
В стереометрии изучаются векторы в пространстве. Их определение и свойства аналогичны определению и свойствам векторов на плоскости.

Цели урока:

• Образовательные: повторение теоретических сведений по теме; рассмотрение правил треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве, законы сложения векторов; изучение правил сложения нескольких векторов в пространстве и его применение при нахождении векторных сумм, не прибегая к рисункам; рассмотрение правил умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач.
• Развивающие: развитие памяти, математической речи, наблюдательности, развитие графических навыков у учащихся.
• Воспитательные: формирование культуры ученического труда.

Тип урока: урок изучения нового материала

Оборудование:

1) Учебник: Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М. : Просвещение, 2002. – 206 с. : ил.
2) раздаточный материал (Приложение 1)
3) мультимедийный проектор, Презентация «Действия над векторами».

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Сообщение темы и цели урока

Учитель: Ребята, тема нашего урока «Действия над векторами» (Слайд 1). Сегодня мы рассмотрим правила треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве; изучим правило сложения нескольких векторов в пространстве и его применение при нахождении векторных сумм, не прибегая к рисункам; рассмотрим правила умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач. (Слайд 2).

2. Актуализация знаний (Устная работа)

Учащиеся отвечают на вопросы учителя. Если учащиеся затрудняются ответить, учитель помогает.

Учитель: 1вопрос. Что называется вектором в пространстве? Его обозначения.

Ученик: Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором.

Учитель: 2 вопрос. Что называется длиной вектора? Ее обозначение.

Ученик: Длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка АВ.

Учитель: 3 вопрос. Какой вектор называется нулевым?

Ученик: Любая точка пространства может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым.

Учитель: 4 вопрос. Какие векторы называются коллинеарными?

Ученик: Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Учитель: 5 вопрос. Какие векторы называются сонаправленными? Обозначение.

Ученик: Если два ненулевых вектора и  коллинеарны и если при этом лучи АВ и СД сонаправленны, то векторы и  называются сонаправленными. .

Учитель: 6 вопрос. Какие векторы называются противоположно направленными? Обозначение.

Ученик: Если два ненулевых вектора и  коллинеарны и если при этом лучи АВ и СД противоположно направленны, то векторы и  называются противоположно направленными. .

Учитель: 7 вопрос. Каким (сонаправленным или противоположно направленным) принять нулевой вектор?

Ученик: Нулевой вектор принято считать сонаправленным с любым вектором.

3. Изучение нового материала

Задача учителя подчеркнуть, что сложение и вычитание векторов в пространстве вводится так же, как и на плоскости, и подчиняется тем же законам. Раздать опорную схему по теме и дать время для работы над конспектом в тетради.

Учитель: Введем правило сложения двух произволь­ных векторов и .Отложим от какой-нибудь точки А вектор , равный . Затем от точки В отложим вектор , равный . Вектор называется суммой векторов и : =+ .
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника (Слайд 3, 4, 5).

Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство  + = .

Учащиеся делают записи  в тетрадях (Слайд 6).

 Учитель: Для сложения двух неколлинеарных векто­ров можно пользоваться также правилом параллело­грамма, известным из курса планиметрии. Это правило пояснено на рисунке (Слайд 7).

Учитель: Два ненулевых вектора называются проти­воположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор. Очевидно, вектор   является противоположным вектору  .

Учитель: Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору  (Слайд 6).
Разность – векторов и можно найти по формуле  – = + (– ), где (– ) – вектор, противоположный вектору

Учитель: Для любых трех векторов справедливы переместительный и сочетательный законы (Слайд 6).

Учитель просит учащихся записать законы в тетрадь.

Учитель: Сформулируем правило многоугольника. Сложение нескольких векторов в простран­стве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма — с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются (Слайд 8).

4. Закрепление изученного материала (выполнение задач)

а) Применение знаний в стандартной ситуации

Учащиеся выполняют № 327: один учащийся у доски, учитель комментирует (Слайд 9)

№ 327. На рисунке 97 изображен параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. Назовите вектор, начало и конец которого является вершинами параллелепипед, равный сумме векторов:

а)
б)
в)
г)
д)

Учащиеся выполняют № 328: один учащийся у доски, учитель комментирует (Слайд 10)

№ 328 (а).  Тетраэдр АВСД. Докажите, что .

Дано: АВСД – тетраэдр
Докажите, что .
Решение: ,   .
Следовательно, .

б) Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой (решение на обратной стороне доски) (Слайд 11)

Задача. Дан тетраэдр АВСД. Найдите сумму:

а)  
б)
в)

5. Изучение нового материала

Учитель: Сформулируем правило умножения вектора на число: ; (Слайд 12)

Если , то,  при ;
 при .
Если , то .

Рассмотреть законы умножения вектора на число и попросить ребят изобразить схему в тетрадях. (Слайд 12)

6. Закрепление изученного материала (выполнение задач)

Учащиеся выполняют № 345: один учащийся у доски, учитель комментирует (Слайд 14)

№ 345. Точки E и F – середины сторон АВ и ВС параллелограмма АВСД, а О – точка произвольная точка пространства. Выразите вектор  через вектор .

Решение:  

Так как EF – средняя линия треугольника АВС, EF|| АС и EF = 1/2  АС.
Поэтому ,     ,  

№ 347. Упростить выражение:

а)

7. Домашнее задание (с комментарием учителя)

§ 2 (п. 36, 37, 38), № 335, № 337 (а, б), № 347 (б). (Слайд 15)

8. Подведение итогов урока

В конце урока желательно с помощью ребят перечислить понятия, правила, свойства, которые были рассмотрены на уроке и которые необходимо запомнить. Выставление оценок.

Учитель: Давайте подведем итоги урока.

Блиц-опрос по вопросам:

– Что называется произведением ненулевого вектора на число?
– Что называется произведением нулевого вектора на число?
– Свойства умножения вектора на число.
– Справедливо ли утверждение:

а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны;
б) любые два вектора коллинеарных противоположно направленны;
в) любые два равных вектора коллинеарны;
г) любые два сонаправленных вектора равны?

(Слайд 16)