Урок-семинар "Применение производной"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Повторение, закрепление, углубление умений и навыков в применении производной для исследования функций.
  • Подготовка к ЕГЭ в рамках задач уровня В-8.
  • Формирование умений осуществлять самоконтроль.
  • Формирование умений проводить обобщение, переносить знания в новую ситуацию.
  • Воспитание у учащихся культуры мышления.
  • Воспитание познавательного интереса к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, тесты для каждого ученика в двух вариантах, задания для работы в группах (для каждой группы).

ХОД УРОКА

I. Приветствие, запись числа, темы, постановка целей, ответы на вопросы по домашнему заданию. (Приложение, слайд 1)

II. Повторение теории

В этой теме ее достаточно много: определения, теоремы, алгоритмы, поэтому учителем совместно с учеником заранее разработано две блок-схемы, которые собирают в себя краткое содержание пройденного. У доски ученик с презентацией двух блок-схем, по которым повторяется основное по теме. (Слайды 2-3)

III. Решение задач устно по готовым чертежам

№1

На рисунке (слайд 4) изображен график производной f’(x)

А) Найти число стационарных точек функции. Определить в них вид экстремума.

Б) Исследовать функцию на монотонность.

В) Найти количество точек, в которых касательная к графику функции f ( x) параллельна прямой y = 2x + 5 или совпадает с ней.

№2

На рисунке №2 (слайд 5) изображен график функции f ’(x),определенной на интервале (– 7; 7). Найти количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 5 или совпадает с ней.

№3

А) В какой точке промежутка [– 6; – 2] функция принимает наибольшее (наименьшее) значение? (Слайд 5)

Б) В какой точке на промежутке [– 2; 3] функция принимает наименьшее (наибольшее) значение? (Слайд 5)

№4

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в т. X0. Найдите значение производной функции f( x) в точке X0. (Слайды 6-7)

IV. Самостоятельная работа по тестам в 2-х вариантам (на 4-5 минут).Затем проводится взаимопроверка по готовым ответам. (Слайды 8-10)

V. Предоставляется слово ученику. Повторяется алгоритм построения графиков путем исследования функции через производную.

VI. Самостоятельная работа в группах на 2 варианта. Исследовать функцию и построить график:

Iв. y = (x + 2)2(x + 3)

IIв. y =

Проводится отчет групп о выполненной работе с показом графика на листах в клетку формата А4,выполнены фломастером. Верность проверяется с помощью программы «Живая математика». (Слайды 11-12)

VII. Рассматривается применение производной в некоторых задачах.

№1 (№45.14) (решение заранее на доске приготовлено учеником с помощью учителя)

Преобразуем уравнение к виду a = и построим график функции a = в системе координат x0a. Для этого учтем ряд обстоятельств.

  1. Определяем знаки на прямой при переходе через точки x = –  и x = 0.
  2. x = 0 –  вертикальная асимптота графика функции.
  3. a’= ; x = 1 – точка максимума, причем в этой точке a = – 3. Функция возрастает на (– ; 0) и на (0;1], убывает на [1; + )
  4. Изображаем схематически график функции.
  5. С помощью построенного графика отвечаем на вопрос задачи: при a > – 3 уравнение имеет один корень, при a = – 3 оно имеет два корня, при a < – 3 – три корня.

№2 (Решается фронтально)

Доказать тождество:

Введем функцию:

Найдем производную функции:

Так как f’(x) = 0 при любых действительных x, то функция f(x) постоянна на множестве R; найдем эту постоянную, вычислив значение функции f, например, в точке x = 0.

Итак, на множестве R данное равенство является тождеством.

VIII. Разгадывание кроссворда (слайд 13)

1.Французский математик XVII века Пьер Ферма определял эту линию так: «прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки» (Слайд 14)

2. В математике это понятие возникло в результате попыток придать точный смысл таким понятиям, как «скорость движения в данный момент времени» и «касательная к кривой в заданной точке» (Слайд 15)

3. Приращение какой переменной обычно обозначают х? (Слайд 16)

4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию называют… (Подсказка. График такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва бумаги)

(Cлайд 17)

5. Эта точка лежит внутри области определения функции, и в ней функция принимает самое большое значение по сравнению со значениями в близких точках. (Cлайд 18)

6. Эта величина определяется как производная скорости по времени. (Слайд 19)

7. Если функцию y=f( x) можно представить в виде y = f(x) = g(h(x)), где y = g( t) = h(x) –  некие функции, то функцию f называют… (слайд 20)

IX. Учеником приготовлена презентация по краткой биографии Жозефа Луи Лагранжа.

X. Заключение

Эта тема, как и многие другие доказывает истинность высказывания: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления» ( В.П.Ермаков).

Подведение итога урока по достижению целей, выставление оценок. (Слайд 21)

Домашнее задание: §46(краткий конспект) № 46.1-46.3(аб)