Решение логарифмических уравнений. 11-й класс

Яковлева Ольга Валериевна

Разделы: Математика

Класс: 11

Тип урока: урок обобщения знаний, систематизация изученного материала.

Цели урока:

Рассмотреть различные способы решения логарифмических уравнений.
Воспитывать настойчивость в достижении цели, развитие творческих способностей учеников путем решения уравнений.
Определить уровень усвоения знаний учащихся по данной теме. Побуждение учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: экран, проектор, справочный материал.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сегодня мы поговорим о методах решения логарифмических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать любые уравнения наиболее подходящим методом.

Основным методом решения логарифмических уравнений является сведения их к простейшим.

II. Лекционное изложение повторения материала.

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим логарифмическим уравнением служит уравнение logx = b (где а > 0, а ≠1).
Решение логарифмического уравнения вида log f(x)=log g(x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x)>0, g(x) > 0, (где а > 0, а ≠1)
Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае является необязательной. Можно отбросить посторонние корни и с помощью нахождения области определении исходного уравнения (эта область задается системой неравенств f(x)>0, g(x) > 0, где а > 0, а ≠1).
При решении логарифмических уравнений часто полезен метод введения новой переменной.
При решении логарифмических уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

III. С помощью проектора повторяем методы решения уравнений.

Пример 1. log(x – 4)= 1.

Решение.

log(x – 4)= 1.

По определению логарифма следует x – 4 = 5, x = 9.

Ответ: 9;

Пример 2. log(x+ 4x + 3) = 3

Решение. О.Д.З. x+ 4x + 3 > 0

По определению логарифма данному уравнению удовлетворяют те значения x, для которых выполнено равенство x+ 4x + 3 = 2, получаем квадратное уравнение x+ 4x - 5 = 0, корни которого 1 и -5. Следовательно, числа 1 и -5 удовлетворяют область допустимых значений.

Ответ: -5; 1.

Пример 3. log(2x+3) =log(x+1)

Решение.

Это уравнение определено для тех x, при которых выполнены неравенства 2х + 3 > 0 и x + 1> 0

Для этих x уравнение равносильно уравнению 2х+3 = x + 1, из которого находим x = - 2,

Число x = -2 не удовлетворяет неравенству x + 1> 0. Следовательно, это уравнение не имеет корней. Это уравнение можно решить иначе. Переходя к следствию данного уравнения 2х+3 = x + 1, находим x= -2. При неравносильных преобразованиях уравнений найденное значение необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение. Получаем равенство log(-1) =log(-1) неверно (оно не имеет смысла).

Ответ: корней нет.

Пример 4. log(x- 2x + 2 ) = 1.

Решение.

Этому уравнению удовлетворяют такие числа x, для которых выполнены условия: где x > 0 и x ≠1 (x – основание логарифмической функции) и x- 2x + 2 = x, x- 3x + 2 = 0. Полученное квадратное уравнение имеет корни 1 и 2. Но x = 1 не удовлетворяет область допустимых значений данного уравнения. Следовательно, решением данного уравнения является только число 2.

Ответ: 2.

Пример 5. l g (3x- 4)+ l g (2x- 4) = 2.

Решение.

Используя свойство, сумму логарифмов запишем в виде произведения lg [(3x- 4) (2x- 4)] = l g100, (3x- 4) (2x- 4) = 10, решая уравнение получаем следующие корни x= 3; x= .

Ответ: x= 3; x= .

Пример 6. logloglogx = 0

Решение. О.Д.З. x > 0

Запишем данное уравнение в таком виде logloglogx = log1, потенциируя, получаем

loglogx = 1,

loglogx = log4,

logx = 4,

x=5,

x = 625

Ответ: x = 625

Пример 7. logx - logx – 3 = 0.

Решение. О.Д.З. x > 0.

Перейдем во втором слагаемом к основанию 5 и сделаем замену переменной t = logx, тогда logx ==2t.

Данное уравнение перепишется в виде t- 2 t – 3 = 0. Корни этого уравнения 3 и -1. Решая уравнения замены logx = 3 и logx =- 1, находим x = 125 и x = 0,2.

Ответ: x = 125, x = 0,2.

Пример 8. + = 4.

Решение. Так как logx = logx, то данное уравнение примет вид + = 4. Пусть = y, y ≥ 0, тогда 1+ logx = y, logx = y- 1 2logx – 2 = 2 y- 4.

Следовательно, уравнение примет вид y + = 4 или = 4 – у.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение 2 y- 4 = 16 - 8у + y или y + 8у – 20 = 0, откуда у= -10; у= 2. Корень у= -10 не подходит, так как y ≥ 0.

Если у= 2, то учитывая замену, имеем 1+ logx = 4, logx = 3, откуда x = 8. Легко убедиться, что x = 8 корень данного уравнения.

Ответ: x = 8

Пример 9. 6 + x= 12.

Решение. О.Д.З.. x > 0. Пусть x= t, где t > 0, тогда прологарифмировав обе части полученного равенства по основанию 6, имеем

log x logx = log t, или logt = = log t. (1)

В этом случае исходное уравнение примет вид 6 + t= 12, или t + t = 12, t = 6, тогда равенство (1) запишется в виде logx = 1, или logx =1, откуда x= 6; x=

Ответ: x= 6; x=

Пример 10. 15= 3

Решение. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию а получаем log(x- 8x +15 ) log 15 = log15 log 3;

x- 8x +15 = 3; x- 8x +12 = 0, откуда x= 6; x= 2.

Ответ: x= 6; x= 2

IV. Закрепление материала решением уравнений на доске.

log(x+1) + log(x+3) =1 Ответ: 0
log (x- 9x +8) log (x +1)=3 Ответ: нет решений.

V. Самостоятельная работа (программированный контроль).

I вариант	II вариант
Р ешите уравнения:	Р ешите уравнения:
log(x – 7)= 1.	log (x – 8)= 1.
lg (3x+ 12x +19) - lg (3x +4) =1	lg (x+ 2x -7) - lg (x -1) =0
logx - log x = 2	logx - 2log x = 3