Урок по теме "Логарифмическая функция"

Цели урока: (слайд 2)

• Образовательные – познакомить учащихся с логарифмической функцией, её свойствами, графиком; показать использование свойств логарифмической функции при решении заданий.
• Развивающие – развивать мыслительные операции посредством сравнений, сопоставлений, обобщений, сознательного восприятия учебного материала, развивать зрительную память, развивать математическую речь учащихся, способствовать развитию творческой деятельности учащихся.
• Воспитательные – воспитывать познавательную активность, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, взаимоподдержки, уверенности в себе; воспитывать культуру общения.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний и способов действий.

Методы обучения: индивидуальная работа, фронтальная работа, самостоятельная работа.

Средства обучения:

• С.М. Никольский и др. Алгебра и начала анализа 10 класс, М.: «Просвещение», 2010
• Мультимедийный проектор, экран, презентация.
• Карточки для индивидуальной работы.

Форма обучения: групповая, индивидуальная, работа в статистических группах.

Структура урока:

1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний и способов действий
3. Объявление темы и общеобразовательной цели урока
4. Изучение нового материала
5. Закрепление изученного материала
6. Самостоятельная работа
7. Постановка домашнего задания
8. Итог урока. Рефлексия

ХОД УРОКА

I этап урока. Организационный момент

1. Приветствие.
2. Проверка готовности к уроку.
3. Проверка явки обучающихся.

 II этап урока. Актуализация опорных знаний и способов действий

Учащиеся делятся на две группы: одна работает по карточкам, другая принимает участие в устном счете.

1. Индивидуальная работа по карточкам

Карточка  1

Найдите число х:

Карточка 2

Найдите число х:

Карточка 3

Вычислить:

2. Устная работа «Морской бой» (слайд 3)

В некоторых ячейках есть буквы. После решения всех заданий из этих букв выстраивается фамилия Непер – математик, изобретатель логарифмов.

3. Краткая справка о Джоне Непере (сообщение учащегося) (слайд 4)

В качестве опережающего домашнего задания учащимся было предложено подготовить сообщение о Джоне Непере, который одним из первых изобрел систему логарифмов.

Джон Непер родился в 1550 в Мерчистон-Касле близ Эдинбурга. В области математики Непер известен главным образом как изобретатель системы логарифмов, основанной на установлении соответствия между арифметической и геометрической числовыми прогрессиями. В «Описании удивительной таблицы логарифмов» он опубликовал первую таблицу логарифмов (ему же принадлежит и сам термин «логарифм»), но не указал, каким способом она вычислена. Объяснение было дано в другом его сочинении «Построение удивительной таблицы логарифмов», вышедшем в 1619, уже после смерти Непера. Таблицы логарифмов, насущно необходимые астрономам, нашли немедленное применение. В 1617 Непер опубликовал еще одну свою работу, Рабдологию (Rabdologia — «счет на палочках»), в которой изложил способ перемножения чисел с помощью особых брусков, получивших впоследствии название «костей Непера». Непер участвовал также в разработке различного рода боевых устройств (зажигательных стекол, артиллерийских орудий и т.д.). Умер Непер в Мерчистон-Касле 4 апреля 1617.

III этап урока. Изучение нового материала

1. Определение и свойства логарифмической функции (слайд 5)

Функцию, заданную формулой y = log_ax (где а > 0 и а ≠ 1), называют логарифмической функцией с основанием а.

Построим графики функций: y = log₂x и y =  и перечислим свойства этих функций (слайды 6, 7)

1) y = log₂x

Свойства логарифмической функции при a > 1 (слайд 8)

1. Область определения – множество всех положительных чисел R₊.
2. Область значений – множество всех действительных чисел R.
3. Функция является ни четной, ни нечетной
4. При всех значениях а график логарифмической функции пересекает ось абсцисс в точке х = 1.
5. Промежутки знакопостоянства:

   y > 0 при x (1;+∞)
   y < 0 при x  (0;1)

6. Функция возрастает при x  (0;+∞)
7. Функция непрерывна.

2) y =  

x	1/4	1/2	1	2	4	8
y =	2	1	0	– 1	– 2	– 3

Свойства логарифмической функции при 0 < a < 1 (слайд 9)

1. Область определения – множество всех положительных чисел R₊.
2. Область значений – множество всех действительных чисел R.
3. Функция не является ни четной, ни нечетной
4. При всех значениях а график логарифмической функции пересекает ось абсцисс в точке х = 1.
5. Промежутки знакопостоянства:

   y > 0 при x  (0; 1)
   y < 0 при x  (1; +∞)

6. Функция убывает при x  (0; +∞)
7. Функция непрерывна.

2. Краткая справка о Леонардо Эйлере (сообщение учащегося) (слайд 10)

В качестве опережающего домашнего задания учащимся было предложено подготовить сообщение о Леонардо Эйлере, который сформулировал современное определение логарифмической функции.

Идеальный математик 18 века – так часто называют Эйлера(1707-1789). Он родился в маленькой тихой Швейцарии. В 1725 году переехал в Россию. Поначалу Эйлер расшифровывал дипломатические депеши, обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, составлял таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны. В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. Там "король математиков" работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла Петербургская математическая школа, более чем наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация главной его книги – "Основ дифференциального и интегрального исчисления". Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций – заслуга Леонардо Эйлера, так же как и их символика.

VI этап урока. Закрепление изученного материала

Для закрепления изученного материала предлагаю выполнить следующие задания.

1. Устно: определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими, а какие убывающими? (фронтальная работа) (слайд 11)

y = log₃x;
y = log₂₃x;

y = log_0,5(2x + 5);
y = log₃(x + 2).

2. Задание I-го уровня: решить графически уравнения: (слайд 12)

Один учащийся работает у доски, остальные на местах.

Решение:

а) lgx = 1 – x (слайд 13)

Ответ: х = 1.

б)  (слайд 14)

Ответ: х = 5

в)  (слайд 15)

Ответ: х = 3.

г) log₂x = 3 – x (слайд 16)

Ответ: х = 2.

3. Задание II-го уровня № 5.33: используя свойства логарифмической функции, сравнить: (слайд 17)

Работа в группах с последующей самопроверкой.

Решение:

а) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 3 < 5, то log₂3 < log₂5.

б) Основание  меньше 1, поэтому функция у = убывает, следовательно, .

в) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает, следовательно, .

г) Логарифмическая функция с основанием, меньше 1, убывает, следовательно, < .

V этап урока. Самостоятельная работа (блиц-опрос) (слайд 18)

Работа в статистических группах с последующей взаимопроверкой.

Ответить на вопросы: да или нет.

1. Ось Оу является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.
2.  Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.
3.  Область определения логарифмической функции – вся числовая прямая, а область значений этой функции – промежуток (0; + ∞).
4.  Монотонность логарифмической функции зависит от основания логарифма.
5.  Не каждый график логарифмической функции проходит через точку с координатами (1; 0).
6.  Логарифмическая функция является ни чётной, ни нечётной.
7.  Логарифмическая функция непрерывна.

Взаимопроверка: (слайд 19)

VI этап урока. Постановка домашнего задания (метод четкого инструктажа) (слайд 20)

1. Изучить п. 5.3.
2. Выполнить

• I уровень: № 5.32 (б, в); 
• II уровень: № 5.35 (ж, з).

VII этап урока. Подведение итогов урока (педагогические методы краткого обобщения, педагогической оценки и коррекции).

1. Теоретико-прикладные итоги урока.
2. Объявление аргументированных оценок.

VIII этап урока. Рефлексия

Выразите  ваше отношение к уроку (выбрать смайлик)

– Спасибо за урок!